X_1,…X,nを独立で同じ確率分布に従う確率変数列とする。 Xmin=min{X_1,…,Xn},

X_1,…X,nを独立で同じ確率分布に従う確率変数列とする。
Xmin=min{X_1,…,Xn},Xmax=max{X_1,…,Xn}
i=1,2…nとする。
X_iの分布が平均1の指数分布
X_iの分布が[0,1]上の一様分布
それぞれの場合についてXmax,Xminの分布の密度関数を求めよ。

という問題を教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。やってみたのですが、これは手計算でもできますか？
  まだ指数分布の方しかやってないのですが、Xmaxの方は(λe^(-λx))^nをxで微分するみたいな式が出てきて微分が出来なさそうで…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 23:07

• 冷静に計算したらおそらく出来ました。お騒がせしました。

    補足日時：2023/01/13 23:36

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/14 20:33

No.3訂正

min じゃなく maxのほうでした。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/13 22:37

Xmax と Xmin の密度関数を求めよ, と書いてあるね.

なにに困っている?

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/13 22:33

確率変数X[i]が互いに独立で、どれも確率密度関数φ(p)に従うとき、

　　F(p) = Pr( X[1]≦p ∧ X[2]≦p ∧ .... ∧ X[n]≦p)
を考えれば、分布関数
　　Φ(p) = ∫[-∞〜p}φ(t) dt
を使って
　　F(p) = (Φ(p))^n
となる。なので min{X[1], ... , X[n] } が従う確率密度関数ψ(p)は
　　ψ(p) = (d/dp) F(p)
　　　　= n φ(p) ((Φ(p))^(n-1))

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/13 22:23

いけね。

ミスプリ。
Xmin の累積分布関数は 1 - {1 - ∫[-∞,x] f(t) dt }^n.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/13 22:22

こゆの、密度関数じゃなくて累積分布関数で考えんだよ。

X の確率密度関数を f(x) として、
Xmax の累積分布関数は {∫[-∞,x] f(t) dt }^n,
Xmin の累積分布関数は 1 - {1 - ∫[-∞,x] f(t) dt }^n }.
これを x で微分すれば、Xmax, Xmin の密度関数が出る。
f(t) に問題の密度関数を代入して、計算してごらん。