確率変数XとYは独立で一様分布U（0,1）に従うとき、(1)E(X+1)、(2)E((X+Y)^2)

確率変数XとYは独立で一様分布U（0,1）に従うとき、(1)E(X+1)、(2)E((X+Y)^2)、(3)XとYの同時密度関数、(4)X<=YかつX+Y<=1である確率を求める。

(1)E(X+1)=3/2
(2)E(X^2)=7/6
(3)f(x,y)=1(0≦x≦1かつ0≦y≦1),0(その他)
(4)∮(0~1){∮(x~-x+1)dy}dx=0

これで合ってますかね？
間違ってたら教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• 間違えました。(2)はE((X+Y)^2))です。

    補足日時：2022/07/30 12:25

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/30 12:10

一様分布なので、X, Y の確率密度関数は

　f(x) = 1　(0≦x≦1)
　　　= 0　(それ以外)
　f(y) = 1　(0≦y≦1)
　　　= 0　(それ以外)


(1) E(X + 1) = ∫[-∞→+∞](x + 1)f(x)dx = ∫[0→1](x + 1)dx
= [x^2 /2 + x][0→1]
= 1/2 + 1
= 3/2

(2) E(X^2) = ∫[-∞→+∞](x^2)f(x)dx = ∫[0→1]x^2 dx
= [x^3 /3[0→1]
= 1/3

0≦x≦1 では x^2 ≦ x なので、E(x^2) が E(X) より大きくなることはあり得ません。

(3) X, Y は独立なので、同時確率密度関数は
　f(x, y) = f(x)･f(y) = 1　(0≦x≦1 かつ 0≦y≦1)
　　　　　　　　　　= 0　(それ以外)

(4) X≦Y かつ
X + Y ≦ 1 つまり Y ≦ 1 - X
両方合わせて
　X ≦ Y ≦ 1 - X
これが成立するのは
　X ≦ 1 - X
より
　X ≦ 1/2

よって、求める確率は
　∫[0→1/2]{∫[x→1-x]f(x, y)dy}dx
　＝ ∫[0→1/2]{∫[x→1-x]1dy}dx
　＝ ∫[0→1/2]{[y][x→1-x]}dx
　＝ ∫[0→1/2]{(1 - x) - x}dx
　＝ ∫[0→1/2]{1 - 2x}dx
　= [x - x^2][0→1/2]
　= 1/2 - 1/4
　= 1/4

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/30 12:35

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞間違えました。(2)はE((X+Y)^2))です。

ああ、そうですか。

だったら
　E((X + Y)^2) = E(X^2 + 2XY + Y^2)
= E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2)　　　　　　　①
で、X, Y は独立なので
　E(XY) = E(X)･E(Y)
です。

ここで、
　E(X) = ∫[-∞→+∞]x･f(x)dx = ∫[0→1]xdx
= [x^2 /2][0→1]
= 1/2
（E(Y) も同様）
で、あとは #1 で求めたように
　E(X^2) = 1/3
　(E(Y^2) = 1/3
なので、これを使って、①は

① = 1/3 + 2 × (1/2) × (1/2) + 1/3
= 2/3 + 1/2
= 7/6