確率変数XとYは独立で一様分布U（0,1）に従うとき、E(X+3)、E((X+Y)^2)、XとYの同

確率変数XとYは独立で一様分布U（0,1）に従うとき、E(X+3)、E((X+Y)^2)、XとYの同時密度関数、X<=Yかつx+y<=1である確率を求めよ。という問題について、解答を教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• E(x)＝(a+b)/2=1/2です。

    補足日時：2022/07/29 06:47

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/29 10:34

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞E(x)＝(a+b)/2=1/2です。

それは、確率密度関数
　f(x) = 1　(0≦x≦1)
　　　= 0　(それ以外)
に対して、X の期待値を
　E(X) = ∫[-∞→+∞]xf(x)dx = ∫[0→1]xdx
として求めましたよね。

同様に、X + 3 の期待値は
　E(X+3) = ∫[-∞→+∞](x + 3)f(x)dx = ∫[0→1](x + 3)dx


また、x, y がそれぞれ、確率密度関数
　f(x) = 1　(0≦x≦1)
　　　= 0　(それ以外)
　f(y) = 1　(0≦y≦1)
　　　= 0　(それ以外)
に対して、X, Y は独立なので
　E((X + Y)^2) = E(X^2 + 2XY + Y^2)
= E(X^2) + 2E(X)･E(Y) + E(Y^2)
ここに、E(X), E(Y) は既に分かっているので
　E(X^2) = ∫[-∞→+∞]x^2･f(x)dx = ∫[0→1]x^2･dx
　E(Y^2) = ∫[-∞→+∞]y^2･f(y)dy = ∫[0→1]y^2･dy
を求めて代入すればよい。


XとYの同時密度関数を f(x, y) とすると、X, Y は独立なので
　f(x, y) = f(x)･f(y)
= 1　(0≦x≦1 かつ 0≦y≦1)　　　　①
= 0　(それ以外)

あとは、「X ≦ Y かつ X + Y ≦ 1」ということは
　x ≦ y ≦ -x + 1, 0≦x≦1
の範囲で①を積分すれば確率が求まる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/29 00:33

一様分布U（0,1）に従う確率変数 X の E(X) がいくつか分かりますか？

「補足」にでも書いてみてください。

それが分からないようなら、説明のしようもありません。