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時系列データの周波数うちわけを知る統計量(?)として,
ピリオドグラムというものがあることを知りました。

p(f) = C_0 + 2 Σ{k = 1 to ∞}C_k cos(2πkf)

周波数のうちわけを知るだけなら FFT で十分なのに,
なぜピリオドグラムというものが存在するのでしょうか。

不運にも私には,高校数学程度の理解しかありません。

ピリオドグラムのメリットとかデメリットが気になります。
ピリオドグラムをかみくだいて語ってくださると幸いです。

A 回答 (1件)

ピリオドグラムというのは,つまり,確率的な信号についての,FFTの平均値みたいなものです.



普通,信号解析をする場合,多かれ少なかれ,外部ノイズなどの確率的な現象を含む信号(時系列)を対象にしています.
なんでスペクトル解析なんかをするときにも,確率的な取り扱いが入ってきます.

例えば,なんかの観測を無限回,繰り返したとします.
1回目は,時系列 f1(t) を観測,
2回目は,時系列 f2(t) を観測,

f1(t),f2(t),…は,だいたい似ているわけですが,細かく見るとノイズなんかの影響でちょっとずつ異なります.
なんで,f1(t),f2(t),…をそれぞれ,フーリエ変換(あるいはFFT)したF1(ω),F2(ω),…もちょっとずつ違います.
で,ピリオドグラムというのは,こいつらの各ωごとの平均のことです.つまり
 Periodogram(ω) = E[ Fn(ω) ]_{n=1,2,…}
です.(つまり.確率空間全体にわたる平均のこと)

あと,パワースペクトルというのもあります.これは Fn(ω)の絶対値の2乗の平均のことです.
信号解析では,各周波数成分ごとのパワーのほうに興味があることが多いので,こっちのほうがよく使われます.
つまり,
 PowerSpectrum(ω)= E[ |Fn(ω)|^2 ]_{n=1,2,…}
です,(これも,ほんとは,確率空間全体にわたる平均のこと)

注意しないといけないのは,
 PowerSpectrum(ω) ≠ |Periodogram(ω)|^2
ということです.これは,ある確率変数Xについて
 E[X^2] ≠ (E[X])^2
てことを考えればわかりますね.

なんで,パワースペクトルを計算するには,普通は観測した時系列を直接FFTするのではなくて,
時系列の自己相関をとってそれをFFTします.(ウィーナー・ヒンチンの定理)
定義上は,各観測時系列直接FFTして,それぞれ絶対値の2乗を計算してから,平均すればいいわけですが,
これだと,収束性がものすごく悪いです.
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この回答へのお礼

かみくだいてご説明いただき,助かりました。

FFT とピリオドグラムとで結果を比較してみました。
たしかにピリオドグラムは,ノイズ成分が非常に少ない!
でも拾いたい(高次の)周波数まで,低減されてました(笑

今後,ピリオドグラムを使うことがあれば,活用したいです。
とてもよい勉強になり今後,ツールの一つとして覚えておきたいです。

お礼日時:2006/10/03 20:46

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