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標準正規分布の確率を求める時の、半整数補正について

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とある問題で、
「N(np, npq)に従う確率変数Xについて」
「10人以上、20人未満の確率を求めよ」
とありました

標準化するために直す時に、10人以上は、9.5以上、にした方が精度が上がるらしいので（半整数補正）、
Z=(9.5-np)/σ
で確率を求めているのですが、

20人未満の確率は、
20人以上の確率の排反、として
Z=(20-np)/σ
その時の確率pを1-pする

としていました

半整数補正は10人以上の時はしているのに、20人以上の時はしていませんよね

ある程度大きな数字はしなくてもよいのでしょうか？
それとも、常にしておいた方がよいのでしょうか？

よろしければお願い致します

質問者からの補足コメント

  • 補足ですが、np（平均）の単位は（人）です

      補足日時：2017/08/07 19:18
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  • うーん・・・

    問題は、
    「国民の症状の割合p=0.045の症状について、母集団400人の集団について、400人のうち、症状がある人数が10人以上20未満の確率を求めよ」です
    B(400, 0.045)を正規分布に近似するとN(18, 4.14^2)

    ここから標準化をしてz=(9.5-18)/4.14
    とz=(20-18)/4.14
    として、その確率の差をとっています

    10人以上の標準化は9.5にしているのに、20人以上の標準化は20のままなのは何故かな、と思いました
    20未満の確率p＝1-{20人以上の確率p}としているようですので、２０人以上の標準化なら、19.5にしないといけないのでは、と思いました

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/07 20:50
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A 回答 (3件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.1です。

典型的な「二項分布」ですね。サンプル数が 400 もあるので、十分に正規分布で近似できると思います。

二項分布の「半整数補正」は、正規分布が「連続関数」であるのに対して、二項分布の度数分布が「階級値」の階段状になるため、階級値の境界を範囲とすることにより、精度を上げようとする方法です。

この問題の場合、「10人以上、20人未満」なので、「10人以上、19人以下」ということと等価です。
その意味では、「半整数補正」をするなら「9.5人 ～ 19.5人」にするのが妥当かと思います。一方だけ補正して、他方は補正しないというのは、むしろ精度を落とすように思います。
おそらく、質問者さんの感覚が正しいのではないかと思います。
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No.3

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.2です。

試しにやってみれば、

　期待値：Ex = 400 * 0.045 = 18
　分散　：Vx = 400 * 0.045 * (1 - 0.045) = 17.19
　標準偏差：σ = √Vx = 4.14608･･･ ≒ 4.15

z=(10 - 18)/4.15 ≒ -1.93　→　P(z≦-1.93) = 0.026803
z=(9.5 - 18)/4.15 ≒ -2.05　→　P(z≦-2.05) = 0.02018

z=(20 - 18)/4.15 ≒ 0.482　→　P(z≧0.48) = 0.315614
z=(19.5 - 18)/4.15 ≒ 0.361　→　P(z≧0.36) = 0.359424

確率は、下記の「標準正規分布表」から読み取りました。
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

以上より
　P(400, 10<X<20) = 1 - 0.026803 - 0.305614 ≒ 0.668
　P(400, 9.5<X<20) = 1 - 0.02018 - 0.305614 ≒ 0.673
　P(400, 9.5<X<19.5) = 1 - 0.02018 - 0.359424 ≒ 0.620

これらの値をどう扱うか、ということですが、P(400, 9.5<X<20) の値を使うということは、「できるだけ確率として救い上げる」「確率を大きめに評価する」（漏れがないようにする）という意図かなあ、と思います。
それがこの場合求められているのかどうか、そのように評価するのが妥当か、ということまでは分かりません。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

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お礼日時：2017/08/08 23:30

No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

全く問題の意味が分かりませんが、単に


　10「以上」なので「 9.5 より大きい」に
　20「未満」なので 20.5 以下ではなく「 20 より小さく」に
しているだけでは？

おそらく、確率変数 Ｘ を「整数の人数を含む範囲」にするために、そういう補正が必要なのでは？
全体の「分布」がどうなっているのか分からないので、何とも言えませんが。
この回答への補足あり
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まず、負の16進数をどのように表わすか、ということを定義しないといけません。「約束事を決める」ということです。
2進数の負数を「2の補数で表わす」というのは「有効桁の上限が決まっている計算機で計算する場合」の約束事であって、数学的にそうなるというものではありません。

「符号を付けて表す」という約束事にすれば
　　16進数「DDC」の負数 → 「-DDC」
で一件落着です。

質問者さんは、どうやら「補数を使った表現」をお望みのようですが、16進数の「DDC」は
　1101 1101 1100
ですから、先頭ビットはすでに使っているので、このままでは「補数」が使えません。

ここでは「4桁で表わした16進数」で、負数を補数で表わす、という約束事にします。
そうすれば
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おしまい。

このしくみが分かりますか？
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16進数でやるとマジックのようですが、2進数でやってみれば、後ろに [ｎ] で付記した数字を「n進数」の意味と定義して
　　0DDC [16] = 0000 1101 1101 1100 [2]
2進数の「0」と「1」を反転させた「１の補数」を作ると
　　0000 1101 1101 1100 [2] →（１の補数）→ 1111 0010 0010 0011 [2]
これに「１」を加えて「２の補数」を作ると
　　1111 0010 0010 0011 [2] →（２の補数）→ 1111 0010 0010 0100 [2]
これを16進数に戻して
　　1111 0010 0010 0100 [2] = F224 [16]
これが「0DDC [16]」に対する「4桁で補数表現をした負数」というわけです。


では本題。質問の「負の16進数DDC」の意味があいまいですが、「正数」DDCを「マイナス」にした負数を、8進数に変換するということと解釈します。

これは、まず「正数」DDC を8進数に変換します。後ろに [ｎ] で付記した数字を「n進数」の意味と定義して
　DDC [16] = 1101 1101 1100 [2]
これから8進数にするには、桁割りを「4桁」から「3桁」に変えて
　DDC [16] = 110 111 011 100 [2] = 6734 [8]
とするのが普通でしょう。いちいち10進数を経由する必要はありません。

では、「6734 [8]」の負数表現は、といえば、再び「8進数5桁で補数表現する」という約束事のもとに
　06734 [8] → 7の補数：71043 → 8の補数：71044
となるので、「6734 [8]」に対する「5桁で補数表現をした負数」は「71044」となります。

検算してみれば
　06734 [8] + 71044 [8] = 100000 [8]

つまり『DDC [16] 」を8進数にした数を、5桁で補数表現をした負数は「71044」である』ということになります。

なお、「16進数での負数表現」と「8進数での負数表現」とでは定義が異なるので、負数どうしの直接の変換は難しいと思います。

質問の趣旨と違っていたら、補足でもしてください。

まず、負の16進数をどのように表わすか、ということを定義しないといけません。「約束事を決める」ということです。
2進数の負数を「2の補数で表わす」というのは「有効桁の上限が決まっている計算機で計算する場合」の約束事であって、数学的にそうなるというものではありません。

「符号を付けて表す」という約束事にすれば
　　16進数「DDC」の負数 → 「-DDC」
で一件落着です。

質問者さんは、どうやら「補数を使った表現」をお望みのようですが、16進数の「DDC」は
　1101 1101 1100
ですから、先頭ビット...続きを読む

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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

＞計算ではプラスマイナスを無効化するために一度2乗したのち、ルートをかけて戻すというイメージ

はい、合っています。その「二乗偏差の合計」を、データ1個当たりの「平均」にするために、データの個数で割ります。

要するに
　分散 = (偏差の二乗) / (データの個数)
つまり、「分散」とは
　(偏差の二乗) の平均値
です。

これを「ルートをかけて戻す」ときに、分母の「データの個数」は、「 (データの個数)のルート」になります。
「標準偏差」が「分散の平方根」なので、機械的にそうなるだけの話です。
「 (データの個数)のルートで割る」という発想ではありません。

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　分散 = (偏差の二乗) / (データの個数)
標準偏差は、それをデータの「次元」に合わせるために「平方根」にします。

＞計算ではプラスマイナスを無効化するために一度2乗したのち、ルートをかけて戻すというイメージ

はい、合っています。その「二乗偏差の合計」を、データ1個当たりの「平均」にするために、データの個数で割ります。

要するに
　分散 = (偏差の二乗) / (データの個数)
つまり、「分散」とは
　(偏差の二乗) の平均値
です。

これを「ルートをかけて戻す」ときに、分母の「データの個数」は、「 (データの個数)のルート」になります。
「標準偏差」が「分散の平方根」なので、機械的にそうなるだけの話です。
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Aベストアンサー

全体のデータに対して、その特定の条件でのデータを比べて、「平均値」と「標準偏差」から、「正規分布」の特性を利用して、「明らかな差があるか、誤差範囲程度の差か」を判別すればよいです。特別な「方法・分析」は不要です。
・全体のデータ：投手、打者の左右に関わらないすべてのデータ
・その特定の条件：①なら｢左投手対左打者のデータ」、②なら｢野手交代直後のイニングのデータ」など

プロ野球の数十年のデータを集めれば、かなりの母数のデータが集まると思いますので、どちらも「正規分布」して「標準偏差」はかなり小さいと思いますので、差の有無はかなり明確に判定できると思います。

正規分布とは下記のような性質を持ちますので、両者の「平均値」が「全体データの標準偏差の2倍以上」離れていれば、「信頼度95％で、明らかに差がある」と言えます。両者の「平均値」が「全体のデータの標準偏差の3倍以上」離れていれば、「信頼度99％で、明らかに差がある」と言えます。

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＊＊＊正規分布の特性＊＊＊
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　　平均値±2σ　の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
　　平均値±3σ　の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
という特性があります。
↓　ここの図を見てください。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_2_1.htm

全体のデータに対して、その特定の条件でのデータを比べて、「平均値」と「標準偏差」から、「正規分布」の特性を利用して、「明らかな差があるか、誤差範囲程度の差か」を判別すればよいです。特別な「方法・分析」は不要です。
・全体のデータ：投手、打者の左右に関わらないすべてのデータ
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