![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。
ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。
この部分には、いろいろな考え方がありますが、
例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。
(x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、
1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2
と考える事ができます。
すると、これを積分した、
∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx
の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。
と、考えました。ところが、
この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です)
一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。
けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、
x以下の双子素数の個数は、上の積分に、2Cをかけたもので見積もっています。
なお、C=Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。
実際に、この2Cをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに2Cをかける事に意味はありそうなのですが、
いったい、このCという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか?
あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか?
なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは、
興味あるテーマなので、考えてみました。
(当方は素人です。あらかじめお断りしておきますね)
任意の2つの数なら「独立事象(って言うんだっけ?)」なので個々の確率の掛け算で合成確率が求まりますが、この場合は、常に2つ離れた数なので、2つの事象に明らかな相関があります。
任意の2つの数の場合より、NとN+2の場合、一方が素数なら、他方も素数である確率はずっと高くなるはずです。(双方とも奇数または偶数であることは明白ですので、それだけでも、奇奇、偶奇、奇偶、偶偶を含む任意の値の組み合わせより優位ですよね、奇奇以外はNGなので、大雑把にいうと1/2と1/4の差ですかね?)
その辺を考慮すると、0.66という数も出てくるかと思いますが、そこまではまだ、私も計算していません。(というか、できない)
>なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
この一言がなければ、恥ずかしくて回答はしなかったと思いますが、御参考になれば幸いです。
ご回答ありがとうございます。
なるほど、確かに、xが素数であるという情報があれば、x+2が素数である"確率"に変化がありそうですね。
xが素数であればx+2が素数である"確率"は高くなりそうですね。その辺りから考えてみたいと思います。
xが素数である時に、x+2が素数である"確率"が2C/logxと考えられるのかもしれませんね。
もう少し考えてみたいと思います。
![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/common/profile/M/noimageicon_setting_10.png?e8efa67)
No.2
- 回答日時:
二つの事象の同時生起確率は、
P(A∩B)=P(A)×P(B) × P(A∩B)/P(A)P(B)と書けます。
AとBが独立の時には、P(A∩B)/P(A)P(B) = 1となりますが、
No.1さんのおっしゃられるように、今回の場合は互いに独立な事象とはいえないでしょう。
そこで、このP(A∩B)/P(A)P(B)に相当する値を見積もったものが、
2Cに相当するのだと思います。
また、ハーディ・リトルウッド予想と呼ばれているように、予想ですから証明は現在ないのでしょう。
見積もりの根拠はわかりませんが、
Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。
>Cの式の形から、ある独立事象の積として見積もられている気がします。
なるほど、確かにそうですね。
もしかしたら、(1-1/(p-1)^2)の項は、xとx+2が素数pで割り切れない確率に関係しているのかもしれませんね。
とすれば、x以下の素数pで割り切れるか否かを考えればよいので、
C(x)=Π[2<p<x](1-1/(p-1)^2)
として、2C(x)をかけた方がよいのだけど、
xが十分大きければC(x)≒lim[x→∞]C(x)=Cと近似できるから、
2Cをかけているのかもしれませんね。
ご回答どうもありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 教えてください。 2 2022/06/30 14:26
- 数学 複素関数にロピタルの定理を使おうとしている回答者は、複素関数論はおろか微積分学もよく分かっていない、 5 2022/12/28 18:02
- 数学 ヒストスプライン平滑化をする際の節点の決め方ついて教えてください。 9 2022/08/08 16:17
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 【 数A 自然数の積と素因数の個数 】 2 2023/03/02 23:58
- 大学・短大 C言語線形リストの問題です 3 2022/12/22 00:45
- 数学 複素関数について 点aが特異点である関数を考えるとき、留数が0になる場合は、a点を含む閉曲線での積分 1 2023/02/17 12:39
- 数学 これまでに愚かな回答者を何人も見てきました。 それでも私は問うてみたい。 京都大学の入試問題に 「 6 2023/05/01 14:06
- 数学 参考文献の探し方(数学) 1 2022/07/19 01:09
- 数学 数学の問題です。 問1: ある(人数の非常に多い)集団から無作為に6名を選んで身長を測ったところ、そ 2 2022/12/09 12:03
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
±4σに入る確率について教えてく...
-
4人がじゃんけんしてあいこにな...
-
8頭身あって10人に1人くらいの...
-
標準正規分布の確率を求める時...
-
「硬貨を10回投げた。(a)表が3...
-
同じ名前、生年月日の人同士が...
-
【確率の問題】
-
2人でじゃんけんをして1人の人...
-
Cp値
-
わからないので助けてください...
-
可能性は「高い」?「大きい」?
-
負の二項分布の名前の由来
-
2乗和の平方根の意味は?
-
確率の問題についてです! 問題...
-
x以下の双子素数の個数
-
同じクラスになる確率
-
多変数の
-
確率が連続で外れる(当たる)...
-
確率50%
-
条件付き確率で、Pa(B)とP(A∩B)...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
±4σに入る確率について教えてく...
-
4人がじゃんけんしてあいこにな...
-
8頭身あって10人に1人くらいの...
-
多変数の
-
丁半バクチの確率
-
確率の問題です。 スペード、ハ...
-
標準正規分布の確率を求める時...
-
相関係数についてくるP値とは何...
-
確率が重複する場合の計算方法
-
発生確率0と見なせるのは?
-
卵が2個連続双子の確率は?
-
[数学] 無限大÷無限大の答えは?
-
同じクラスになる確率
-
一個のサイコロを150回投げたと...
-
2人でじゃんけんをして1人の人...
-
確率密度関数の縦軸Y
-
条件付き確率で、Pa(B)とP(A∩B)...
-
可能性は「高い」?「大きい」?
-
Cp値
-
3枚の硬貨を投げるとき3枚とも...
おすすめ情報