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- 回答日時:
二項分布 B(n, p) では
・X=k である確率 P(X=k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k) ①
・期待値 E[X] = np ②
・分散 V[X] = np(1 -p) ③
であることを知っているのかな?
別に暗記する必要もないけど、テキストに必ず書いてある。一度自分で導出してみれば、暗記しなくても覚えちゃうよ。
(1) ①を使って
P(X=n) = nCn * p^n * (1 - p)^0 = p^n
P(X=n-1) = nC(n-1) * p^(n-1) * (1 - p)^1 = n*p^(n-1) * (1 - p)
= n*p^(n-1) - n*p^n
「X=n-1である確率はX=nである確率の8倍である」ということは
P(X=n-1) = 8*P(X=n)
なので
n(1/p - 1) = 8
→ n = 8p/(1 - p) ④
また「その分散はV[X]=8/9であり」なので、③から
np(1 -p) = 8/9 ⑤
⑤に④を代入すれば
8p^2 = 8/9
→ p^2 = 1/9
p>0 なので
p = 1/3
④から
n = (8/3)/(2/3) = 4
(2) E[X^2 - 3X + 2]
= E[X^2] - 3E[X] + 2 ⑥
E[X] は②より
E[X] = np = 4 * (1/3) = 4/3
分散に関する公式
V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
を使えば
E[X^2] = V[X] + {E[X]}^2
なので
E[X^2] = 8/9 + (4/3)^2 = 24/9 = 8/3
よって、⑥より
E[X^2 - 3X + 2] = E[X^2] - 3E[X] + 2
= 8/3 - 3(4/3) + 2
= 6/3
= 2
(3) この確率変数の事象を数多く試行すれば、その結果は「平均 E[X]、分散 V[X] の正規分布」に収束していきます。(大数の法則)
その正規分布を N(μ, σ^2) と書けば
μ = E[X], σ = √(V[X])
ですから、与えられた式は
|X - μ| < σ
つまり
μ - σ < X < μ + σ
ということなので、正規分布の特性から、その確率は
0.683
ということになります。
↓ 正規分布
https://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3 …
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