A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(1) 二項分布の基本的な特性を理解していれば解ける。
二項分布 B(n, p) では
・期待値:E[X] = np ①
・分散 :V[X] = np(1 - p) ②
になる。
また、X=r となる確率は
P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^(n - r)
これが分かっていれば解けるでしょ?
分散の式②から
np(1 - p) = 8/9 ③
X = n - 1 の確率
P(n, n - 1) = nC(n - 1) p^(n - 1) × (1 - p)^1
= n × p^(n - 1) × (1 - p)^1 ④
X = n の確率
P(n, n) = nCn × p^n × (1 - p)^0
= 1 × p^n
= p^n ⑤
④が⑤の8倍なので
n × p^(n - 1) × (1 - p)^1 = 8p^n
→ n(1 - p) = 8p
→ n - np = 8p
→ (n + 8)p = n
→ p = n/(n + 8) ⑥
これを③に代入して
n・[n/(n + 8)]・[1 - n/(n + 8)]
= n・[n/(n + 8)]・[8/(n + 8)]
= 8n^2 /(n + 8)^2 = 8/9
→ [n/(n + 8)]^2 = 1/9
n>0 なので
n/(n + 8) = 1/3
→ 3n = n + 8
→ 2n = 8
→ n = 4
⑥より
p = 4/(4 + 8) = 4/12 = 1/3
(2) これは「期待値」の線形性
E[X^2 - 3X + 5]
= E[X^2] - 3E[X] + 5 ⑦
と
「分散」の公式
V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2 ⑧
を知っていないとちょっと苦しい。
⑧はよく使うので、テキストを見ながら、一生に一度は自分で導出してみるとよい。
これを使えば
⑦の第1項は、⑧を使って
E[X^2] = V[X] + {E[X]}^2
ここに
E[X] = np = 4/3 ⑨
V[X] = 8/9
を使えば
E[X^2] = 8/9 + (4/3)^2 = 24/9 = 8/3
⑦の第2項は⑨を使えばよいから、⑦は
E[X^2 - 3X + 5]
= E[X^2] - 3E[X] + 5
= 8/3 - 4 + 5
= 11/3
No.2
- 回答日時:
(1)
問題文の条件どおりに、
np(1-p) = 8/9, …[1]
{nC(n-1)}{p^(n-1)}(1-p)^1 = 8 {nCn}{p^n}(1-p)^0. …[2]
連立方程式を解いて、n = 4, p = 1/3.
方程式の解き方は...
[2] を変形して、
8 = { {nC(n-1)}{p^(n-1)}(1-p)^1 }/{ {nCn}{p^n}(1-p)^0 }
= n(1-p)/p. …[2’]
[1] を辺々 [2’] で割って、
{ n(1-p)/p }/{ n(1-p)/p } = { 8/9 }/{ 8 } より
p^2 = 1/9 すなわち p = 1/3.
これを [1] へ代入して n が出る。
(2)
E(X^2-3X+5) = E(X^2) - 3E(X) + 5
= { V(X) + E(X)^2 } - 3E(X) + 5
= { np(1-p) + (np)^2 } - 3(np) + 5
= { 8/9 + (4/3)^2 } - 3(4/3) + 5
= 11/3.
No.1
- 回答日時:
ここが「問題を解いてもらう」場ではない, というのは当然理解してるよね? その前提で
どこまで理解している? どこで何にどう困っている? 自分で考えるつもりはある?
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