教えてください。数学Bの二項分布の問題です。 確率変数Xは二項分布B(n,p)に従い、その分散は8/

教えてください。数学Bの二項分布の問題です。
確率変数Xは二項分布B(n,p)に従い、その分散は8/9で、Xが値n-1をとる確率は、Xが値nをとる確率の8倍である。
(1) nとpの値を出せ
(2)E(X^2-3X+5)の値

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/06 14:31

(1) 二項分布の基本的な特性を理解していれば解ける。

二項分布 B(n, p) では
・期待値：E[X] = np　　　　　　　①
・分散　：V[X] = np(1 - p)　　　　②
になる。
また、X=r となる確率は
　P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^(n - r)

これが分かっていれば解けるでしょ？

分散の式②から
　np(1 - p) = 8/9　　　③

X = n - 1 の確率
　P(n, n - 1) = nC(n - 1) p^(n - 1) × (1 - p)^1
　　　　　　= n × p^(n - 1) × (1 - p)^1　　　　④
X = n の確率
　P(n, n) = nCn × p^n × (1 - p)^0
　　　　　= 1 × p^n
　　　　　= p^n　　　　　　　　⑤
④が⑤の8倍なので
　n × p^(n - 1) × (1 - p)^1 = 8p^n
→　n(1 - p) = 8p
→　n - np = 8p
→　(n + 8)p = n
→　p = n/(n + 8)　　　　　⑥

これを③に代入して
　n･[n/(n + 8)]･[1 - n/(n + 8)]
= n･[n/(n + 8)]･[8/(n + 8)]
= 8n^2 /(n + 8)^2 = 8/9
→　[n/(n + 8)]^2 = 1/9
n>0 なので
　n/(n + 8) = 1/3
→　3n = n + 8
→　2n = 8
→　n = 4

⑥より
　p = 4/(4 + 8) = 4/12 = 1/3

(2) これは「期待値」の線形性
　E[X^2 - 3X + 5]
= E[X^2] - 3E[X] + 5　　　　⑦
と
「分散」の公式
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2　　　⑧
を知っていないとちょっと苦しい。
⑧はよく使うので、テキストを見ながら、一生に一度は自分で導出してみるとよい。

これを使えば
⑦の第1項は、⑧を使って
　E[X^2] = V[X] + {E[X]}^2
ここに
　E[X] = np = 4/3　　　　⑨
　V[X] = 8/9
を使えば
　E[X^2] = 8/9 + (4/3)^2 = 24/9 = 8/3

⑦の第2項は⑨を使えばよいから、⑦は
　E[X^2 - 3X + 5]
= E[X^2] - 3E[X] + 5
= 8/3 - 4 + 5
= 11/3

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/06 06:32

(1)

問題文の条件どおりに、
np(1-p) = 8/9,　…[1]
{nC(n-1)}{p^(n-1)}(1-p)^1 = 8 {nCn}{p^n}(1-p)^0.　…[2]
連立方程式を解いて、n = 4, p = 1/3.

方程式の解き方は...
[2] を変形して、
8 = { {nC(n-1)}{p^(n-1)}(1-p)^1 }/{ {nCn}{p^n}(1-p)^0 }
　= n(1-p)/p.　…[2’]
[1] を辺々 [2’] で割って、
{ n(1-p)/p }/{ n(1-p)/p } = { 8/9 }/{ 8 } より
p^2 = 1/9 すなわち　p = 1/3.
これを [1] へ代入して n が出る。

(2)
E(X^2-3X+5) = E(X^2) - 3E(X) + 5
　　　　　　= { V(X) + E(X)^2 } - 3E(X) + 5
　　　　　　= { np(1-p) + (np)^2 } - 3(np) + 5
　　　　　　= { 8/9 + (4/3)^2 } - 3(4/3) + 5
　　　　　　= 11/3.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/06 01:33

ここが「問題を解いてもらう」場ではない, というのは当然理解してるよね? その前提で

どこまで理解している? どこで何にどう困っている? 自分で考えるつもりはある?