楕円の外周の計算方法

楕円の外周を求める計算式というのはあるのでしょうか？
例えば、横１６cm、縦１２cmの楕円の外周は、いったい何cmになるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/01/08 00:24

横 2a，縦 2b (a>b) の楕円の周長 L は

(1)　　L = 4 ∫{0～π/2} √{a^2 - (a^2-b^2)sin^2 θ} dθ
ですが，これは初等関数では表現できません．
そういうことで，(1)の本質部分
(2)　　E(k) = ∫{0～π/2} √{1 - k^2 sin^2 θ} dθ
に楕円積分(正確には第２種楕円積分)という名前がついているくらいです．
E(k) で表すなら
(3)　　L = 4a E(k),　　k^2 = 1 - (b^2/a^2)
ということですね．

a,b を決めれば(1)あるいは(2)の積分の値は決まりますが，
具体的な値を知るには数値計算，あるいは楕円積分の表を見るより
仕方がありません．
まあ，例えば三角関数で表現できたところで，
具体的値を知るには電卓叩くより仕方がありませんから
似たようなものです．
sin k などの代わりに余りなじみのない K(k) になっているだけです．

ちょいと数値計算してみたところ，a=8 cm，b=6 cm では
(4)　　L = 40.4541 cm
になります．
半径 a = 8 cm の円ですと周長は 2πa = 50.2655 cm，
半径 b = 6 cm の円ですと周長は 2πb = 37.6991 cm，
ですから，当然ながら(4)の L は両者の間の値になっています．

なお．楕円の面積は πab です．

No.2 回答者： simox 回答日時： 2003/01/07 14:59

楕円の周長は、近似公式によって求められます。

参考URLをごらん下さい。

参考URL：http://www4.ocn.ne.jp/~katonet/kagaku/kousiki/me …

No.1 回答者： arararara 回答日時： 2003/01/07 14:58

近似公式しかないです