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楕円の外周を求める計算式というのはあるのでしょうか?
例えば、横16cm、縦12cmの楕円の外周は、いったい何cmになるのでしょうか?

A 回答 (3件)

横 2a,縦 2b (a>b) の楕円の周長 L は


(1)  L = 4 ∫{0~π/2} √{a^2 - (a^2-b^2)sin^2 θ} dθ
ですが,これは初等関数では表現できません.
そういうことで,(1)の本質部分
(2)  E(k) = ∫{0~π/2} √{1 - k^2 sin^2 θ} dθ
に楕円積分(正確には第2種楕円積分)という名前がついているくらいです.
E(k) で表すなら
(3)  L = 4a E(k),  k^2 = 1 - (b^2/a^2)
ということですね.

a,b を決めれば(1)あるいは(2)の積分の値は決まりますが,
具体的な値を知るには数値計算,あるいは楕円積分の表を見るより
仕方がありません.
まあ,例えば三角関数で表現できたところで,
具体的値を知るには電卓叩くより仕方がありませんから
似たようなものです.
sin k などの代わりに余りなじみのない K(k) になっているだけです.

ちょいと数値計算してみたところ,a=8 cm,b=6 cm では
(4)  L = 40.4541 cm
になります.
半径 a = 8 cm の円ですと周長は 2πa = 50.2655 cm,
半径 b = 6 cm の円ですと周長は 2πb = 37.6991 cm,
ですから,当然ながら(4)の L は両者の間の値になっています.

なお.楕円の面積は πab です.
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楕円の周長は、近似公式によって求められます。


参考URLをごらん下さい。

参考URL:http://www4.ocn.ne.jp/~katonet/kagaku/kousiki/me …
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近似公式しかないです

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