Xが[0,1]を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき、Y=X^2/3が従う確率分布の確率密度

Xが[0,1]を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき、Y=X^2/3が従う確率分布の確率密度関数fY(x)はどうなりますか？

質問者からの補足コメント

• 回答者様の返信を受けて質問文に不備が発覚したため、質問文を以下のように訂正いたします。ご指摘ありがとうございます。
  
  Xが[0,1]を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき、Y=X^(2/3)が従う確率分布の確率密度関数fY(x)はどうなりますか？
  
  が訂正後の質問文になります。

    補足日時：2022/11/15 19:06

• 回答、ご指摘ありがとうございます。前者のY=X^(2/3)がご教授いただきたい内容でした。
  質問文のほうも訂正いたしましたので、ご確認お願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/11/15 19:14

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/16 16:28

定理の名前は忘れましたが、以下の定理を使います。

「Xが連続型確率変数で、密度関数f(x)に従うとき、
Y＝g(x)（ここでg(x)は微分可能な単調関数）とすると、
Yの密度関数h(y)は、

　　h(y)＝　f(g_inv(y))[g_inv(y)]’　：g(x)が単調増加のとき
　　h(y)＝－f(g_inv(y))[g_inv(y)]’　：g(x)が単調減少のとき

g_invはgの逆関数」


これより、
まず、逆関数を求める。
y＝x^(2/3)は単調増加で、その逆関数は、x＝Y^(3/2)
これを微分すると、x'＝3/2・Y^(1/2)

定理の式に代入する。ただし、f(x)＝const.=1だから、
f(Y(x))＝１・3/2・Y^(1/2)＝3/2・Y^(1/2)

導出終わり

たぶん、ありものがたりさんの導出と同じだと思いますが、私のは定理に従って機械的にやっています。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/16 17:57

#3です。

一様分布の密度関数ですが、密度関数のグラフは長方形になります。
密度関数のグラフの面積は、分布形に関わらず常に１です。

今の場合、底辺の長さが１ですので、高さも１。
よって、f(x)＝１です。

この部分を断りなく書いていて、すみませんでした。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/15 20:09

Y が X に対して単調増加なので、Y の分布関数 F_Y は

F_Y(y) = Prob[Y≦y] = Prob[X^(2/3)≦y] = Prob[X≦y^(3/2)] = y^(3/2)
と計算できます。よって、Y の確率密度関数 f_Y は
f_Y(y) = (d/dy)F_Y(y) = (d/dy)y^(3/2) = (3/2)y^(1/2) です。ただし、y∈[0,1].

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/15 15:04

Y=X^(2/3) なのかY=(X^2)/3 なのかどっちでしょうかね。