常微分方程式の問題

以下の常微分方程式の解き方を教えてください。
e^ydy/dx + e^y = sinx

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/20 13:39

sin x = (e^y)dy/dx + e^y

　　= d{e^y}/dx + e^y
から
(e^x)sin x = (e^x)d{e^y}/dx + (e^x)e^y
　　　　= (e^x)d{e^y}/dx + (d{e^x}/dx)e^y
　　　　= d{(e^x)e^y}/dx
と見て、 x で積分すると
∫(e^x)(sin x)dx + C = e^(x+y).　{C は定数}

部分積分を使って
∫(e^x)(sin x)dx = (e^x)(sin x) - ∫(e^x)(cosx)dx + A,
∫(e^x)(cos x)dx = (e^x)(cos x) - ∫(e^x)(-sinx)dx + B　{A,B は定数}
だから、これを ∫(e^x)(sin x)dx, ∫(e^x)(cosx)dx についての
連立一次方程式と見ると、
∫(e^x)(sin x)dx = (e^x)(sin x - cos x)/2 + (A-B)/2.

よって、
e^(x+y) = (e^x)(sin x - cos x)/2 + (A-B)/2 + C,
x + y = log{ (e^x)(sin x - cos x)/2 + D },　{D は定数}
y = - x + log{ (e^x)(sin x - cos x)/2 + D }.

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/20 11:45

y=u-x とおくと

e^(u-x)・(u'-1)+e^(u-x)=sinx → e^(u-x)・u'=sinx
→ e^u・u'=e^x・sinx → (e^u)'=e^x・sinx
積分して
e^u=∫e^x・sinxdx=(sinx-cosx)(e^x)/2+C
uを戻して

e^(y+x)=(sinx-cosx)(e^x)/2+C
→ e^y=(sinx-cosx)/2+Ce^(-x)
→ y=log{(sinx-cosx)/2+Ce^(-x)}

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/20 10:28

e^x を掛けて積分かなぁ....