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微分について
質問1
dy/dxの2回微分は(dy/dx)²
とならないのですか?
質問2
微分方程式の1次形式とはなんですか

質問者からの補足コメント

  • 敏速な回答ありがとうございます
    最初に微分がでてきた高校の教科書には、
    dy/dx 2かい微分d² y/dx²と書いていたのですが
    分子のd²とはなんですか?(d²yとdy²の違いはなんですか? )よろしくお願いします

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/08/26 12:16
  • 質問2
    補足です
    youtube
    線形微分方程式の説明
    ?si=ZEUKnN5qQMZETRO6
    の 1:06:14のあたりで言ってることです

      補足日時:2023/08/26 12:34

A 回答 (9件)

質問1 (dy/dx)² じゃなく (d/dx)² y です。



正則な複素関数 f(x), g(x) と複素定数 c に対して
f(x)+g(x) も c f(x) も正則な複素関数ですから、
正則な関数の集合はベクトル空間もなっています。
このベクトル空間上で、微分操作は
(d/dx)( f(x)+g(x) ) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x),
(d/dx)( c f(x)+g(x) ) = c (d/dx)f(x)
を満たしますから、一次変換です。
この一次変換を表す表現行列が d/dx だと思えば
(d/dx)² y が理解しやすいのではないでしょうか。

質問2 定数倍して足したものを「1次形式」と言います。

「線型結合」とか「線型和」とかも言いますね。
高校の教科書にも出てきたんじゃないかな?
質問の動画では、
高次導関数の1次形式『を=0と置いたもの』を線型微分方程式
(正しくは、定係数斉次線型微分方程式)と言おうとして
『 』部分をつけ忘れたようです。
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>定数線形線形微分方程式


訂正。
定数係数線形微分方程式
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ビデオみたけど、定数係数線形微分方程式の説明に


「―次形式」を使っているだけですね。

n次のベクトル同士の内積
c=(c₁、・・・、cn)
y=(y₁、・・・、yn)
c・y
はー次形式(線形形式)ですけど
定数線形線形微分方程式は

c=(a₁、・・・、an)
y=(1、dy/dx、d²y/dx²、・・・d^(n-1)y/x^(n-1))
c・y=~(いろいろ)

だから左辺が1次形式になっているということです。

ー次形式は線形代数の用語だと思う。
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2回微分ではなくて2階微分ですが、それは間違えて書かれた通り「2回微分する」と言う意味です。

(dy/dx)^2では1回しか微分していないので2階微分にはなりません。
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図の通り

「微分dy/dxについて」の回答画像5
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この先生の「1次形式」というのをご自身が,微係数の「1乗」と言いなおしておられます。


 さて,既に回答があるように,微分というのは d/dt という作用・演算 action のことを指します。そして dx/dt というのを微分とは呼ばず,これは微係数と呼びます。微分は英語では differential で,微係数は derivative です。銀行の金融商品のデリバティブと同じ。ですから2階の微分という作用は (d/dt)^2 → d^2/dt^2 になるわけです。微係数の2乗は (dx/dt)^2 で,これはこの先生の言葉を借りると1次形式ではなく2次形式になるんでしょう。
 積分も同じです。積分も ∫ dt という作用素・演算なんです。ですから,多くの学校では,例えばある関数 f(t) の積分を ∫ f(t) dt と書いて,被積分関数 f(t) を作用素の中に入れてしまいますが,外国などでは ∫ dt f(t) と書く先生も少なくありません。この方が本当の意味を表しているようにも感じますが,数学の先生に質問したら,数学にはこれは!という規則は無い,通じればいい,と怒られました。なお微分の d は,だから differential の頭文字だと思われますし,積分記号の ∫ は,Integration, Integral の I の大文字の筆記体が元だと言われたりします。まさに I の筆記体みたいに書く先生もいます。
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https://ja.wikipedia.org/wiki/1-形式 ← このこと?
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形式としては微分は


d/dx(y)
ともかけて、d/dxが微分の演算子
#本当は分数形式だが、ここでは書きづらいので。

2階微分は
d/dx(d/dx(y))=d²/dx²(y)
と書くことになってる。

(dy/dx)²だと一階微分の2乗にしか読めないので
駄目でしょう。区別する記法の工夫に欠けてます。

質問2は知らんです。要出典。
この回答への補足あり
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1.



y=x とすると y'=1, y''=0 つまり、y'²≠y''

2.
そんな言葉は聞いたことが無い。
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