微分dy/dxについて

微分について
質問1
dy/dxの2回微分は（dy/dx）²
とならないのですか？
質問2
微分方程式の1次形式とはなんですか

質問者からの補足コメント

• 敏速な回答ありがとうございます
  最初に微分がでてきた高校の教科書には、
  dy/dx　２かい微分d² y/dx²と書いていたのですが
  分子のd²とはなんですか？（d²yとdy²の違いはなんですか？ ）よろしくお願いします

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/08/26 12:16

• 質問2
  補足です
  youtube
  線形微分方程式の説明
  ?si=ZEUKnN5qQMZETRO6
  の　1:06:14のあたりで言ってることです

    補足日時：2023/08/26 12:34

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 13:46

質問1　(dy/dx)² じゃなく (d/dx)² y です。

正則な複素関数 f(x), g(x) と複素定数 c に対して
f(x)+g(x) も c f(x) も正則な複素関数ですから、
正則な関数の集合はベクトル空間もなっています。
このベクトル空間上で、微分操作は
(d/dx)( f(x)+g(x) ) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x),
(d/dx)( c f(x)+g(x) ) = c (d/dx)f(x)
を満たしますから、一次変換です。
この一次変換を表す表現行列が d/dx だと思えば
(d/dx)² y が理解しやすいのではないでしょうか。

質問2　定数倍して足したものを「1次形式」と言います。

「線型結合」とか「線型和」とかも言いますね。
高校の教科書にも出てきたんじゃないかな？
質問の動画では、
高次導関数の1次形式『を=0と置いたもの』を線型微分方程式
(正しくは、定係数斉次線型微分方程式)と言おうとして
『 』部分をつけ忘れたようです。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/27 11:43

>定数線形線形微分方程式

訂正。
定数係数線形微分方程式

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/27 00:00

ビデオみたけど、定数係数線形微分方程式の説明に

「―次形式」を使っているだけですね。

n次のベクトル同士の内積
c=(c₁、・・・、cn)
y=(y₁、・・・、yn)
c・y
はー次形式(線形形式)ですけど
定数線形線形微分方程式は

c=(a₁、・・・、an)
y=(1、dy/dx、d²y/dx²、・・・d^(n-1)y/x^(n-1))
c・y=～(いろいろ)

だから左辺が1次形式になっているということです。

ー次形式は線形代数の用語だと思う。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2023/08/26 23:38

2回微分ではなくて2階微分ですが、それは間違えて書かれた通り「2回微分する」と言う意味です。

(dy/dx)^2では1回しか微分していないので2階微分にはなりません。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/26 21:04

図の通り

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2023/08/26 14:25

この先生の「１次形式」というのをご自身が，微係数の「１乗」と言いなおしておられます。

　さて，既に回答があるように，微分というのは d/dt という作用・演算 action のことを指します。そして dx/dt というのを微分とは呼ばず，これは微係数と呼びます。微分は英語では differential で，微係数は derivative です。銀行の金融商品のデリバティブと同じ。ですから２階の微分という作用は (d/dt)^2 → d^2/dt^2 になるわけです。微係数の２乗は (dx/dt)^2 で，これはこの先生の言葉を借りると１次形式ではなく２次形式になるんでしょう。
　積分も同じです。積分も ∫ dt という作用素・演算なんです。ですから，多くの学校では，例えばある関数 f(t) の積分を ∫ f(t) dt と書いて，被積分関数 f(t) を作用素の中に入れてしまいますが，外国などでは ∫ dt f(t) と書く先生も少なくありません。この方が本当の意味を表しているようにも感じますが，数学の先生に質問したら，数学にはこれは！という規則は無い，通じればいい，と怒られました。なお微分の d は，だから differential の頭文字だと思われますし，積分記号の ∫ は，Integration, Integral の I の大文字の筆記体が元だと言われたりします。まさに I の筆記体みたいに書く先生もいます。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/26 11:58

https://ja.wikipedia.org/wiki/1-形式 ← このこと？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/26 11:25

形式としては微分は

d/dx(y)
ともかけて、d/dxが微分の演算子
#本当は分数形式だが、ここでは書きづらいので。

2階微分は
d/dx(d/dx(y))=d²/dx²(y)
と書くことになってる。

(dy/dx)²だと一階微分の2乗にしか読めないので
駄目でしょう。区別する記法の工夫に欠けてます。

質問2は知らんです。要出典。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/26 11:05

1.

y=x とすると　y'=1, y''=0 つまり、y'²≠y''

2.
そんな言葉は聞いたことが無い。