(1+x^2)y'=1 の微分で教えて下さい

微分可能な関数f(x)が　(1+x^2)y'=1 を満たしている。
この時等式の両辺をxで微分すると
なぜ2xy'+(1+x^2)y''=0となるのでしょうか。
最初私が考えたのが 積の微分の後ろの項についてですが
（前の2xy'はいいとして）後ろは
2xy'+(1+x^2)・d/dx・y'・dy/dy =0
となって整理すると　2xy'+(1+x^2)・y'’・y' =0
なるのですがｙ’を微分する時にいったんxで微分できないので
dy/dyを足してy'をｙで微分してy''そしてdy/dx=y'を付け加えたのですが
なぜダメなのでしょうか？y'をそのままxで微分するのが
よくわからないのです。
どなたかご教授くださいませ。お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/08/30 10:51

>ｙ’を微分する時にいったんxで微分できないので

そんなことありません。
y'はyをxで微分したものです。これをxで微分すればy"になる、ただそれだけです。

>dy/dyを足してy'をｙで微分してy''
y"はy'をxで微分したものであり、yで微分したものではありません。
y'自体、yをxで微分したものです。
yをyで微分したら単に"1"になるだけです。yをyで2回微分したら"0"になるだけです。

この回答へのお礼

なるほど！大変よくわかりました。一つ一つの意味があいまいに
理解しているのがよくわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2022/08/30 10:54

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/08/30 10:35

dy/dyって、1なのかな

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
dy/dyをなぜつけたかというとy'をxで直接微分できないと考えたため
陰関数の微分でよく使う（xyをxで微分する時によく使う）
いったんy'をｄ(y')/dx と書いておいて帳尻合わせ
のためdy/dyを付け加え　ななめに掛け合わせると
d(y')/dy とdx/dyに分かれるためそれぞれ計算すると
ｙ’’とｙ’になるという意味です。

お礼日時：2022/08/30 10:43