x=r・cosθの２回微分 θ＝ωｔとすると？

よろしくお願いします。
見出しのとおり、x=r・cosθ　θはｔの関数とすると

ｄｘ／ｄｔ　＝　－ｒ・sinθ・（ｄθ／ｄｔ）

この式をもう一度微分して

(d＾２x/dt＾２)＝－ｒ・cosθ・（dθ／ｄｔ）＾2　－ｒ・sinθ・（d＾２θ／ｄｔ＾２）・・・①

ここまでは途中の計算も自分で理解できました。（参考書にも同じ計算が載っていましたから合っていると思います。）

ここで、物理でよく出てくる角速度をωとおいて　θ＝ωｔ　角速度ω＝一定とすると、上の式の第２項は、θの２回微分（ωの１回微分）が含まれているので、ゼロになります。

つまり①式は　(d＾２x/dt＾２)＝－ｒω＾２・cosωｔ　←ここまでは分かります。

では、
角速度ωがｔの関数で一定ではないとすると①式はどのような計算になるでしょうか。

ｘ＝ｒ・ｃｏｓωｔ
（ｄｘ／ｄｔ）＝－ｒ・sinωｔ・ω
　　　　　　　＝－ｒω・sinωｔ
この式をもう一度ｔで微分すると……ここからが自分には計算できません。どなたか御指導をお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/11 09:27

角速度が一定でないということは、もはや θ = ωt は成り立ちません。

そこで θ を時間の関数 θ(t) として微分します。

x = rcosθ
ω = dθ/dt (角速度)
α = dω/dt (角加速度)

としましょう。rは定数とします。

合成関数の微分を使って
dx/dt = -rsinθ・dθ/dt = -rωsinθ

ここまでは同じ。

もう一回微分すると、ωが定数ではないので積の微分で
2項に分かれます。

d^2x/dt^2 = -r(dω/dt)sinθ -rωcosθ・dθ/dt
= -rαsinθ - r(ω^2)cosθ

第2項はω一定の場合と同じ。
第1項は角加速度がゼロでないことで現れた項です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。短時間で多くの回答が寄せられており、大変感謝です。

御指導いただいたとおり、そもそも角速度が一定でないなら　θ＝ωｔ　は成り立ちませんね。重大な見落としでした。

式の説明も大変よく分かりました。

お礼日時：2022/05/11 23:07

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/11 14:10

合成関数の微分は、dx/dt = (dx/dθ)(dθ/dt) と

右辺が積の形になるので、
二階微分には積の微分法則を使います。
(fg)’ = (f')g + f(g’) です。

(d²x/dt²) = (d/dt){ (dx/dθ)(dθ/dt) }
　　　　　= { (d/dt)(dx/dθ) }(dθ/dt) + (dx/dθ){ (d/dt)(dθ/dt) }
　　　　　= { (d²x/dθ²)(dθ/dt) }(dθ/dt) + (dx/dθ)(d²θ/dt²)
　　　　　= (d²x/dθ²)(dθ/dt)² + (dx/dθ)(d²θ/dt²).
x = r cosθ, θ = ωt なら、最下行の計算は容易ですね？

ω が定数でない場合は、
θ を微分するのにも積の微分法則を使って
dθ/dt = (d/dt){ ωt }
　　　= (dω/dt)t + ω(dt/dt)
　　　= (dω/dt)t + ω,

d²θ/dt² = (d/dt){ (dω/dt)t + ω }
　　　　= (d/dt){ (dω/dt)t } + dω/dt
　　　　= { (d/dt)(dω/dt) }t + (dω/dt)(dt/dt) + dω/dt
　　　　= (d²ω/dt²)t + 2dω/dt.
になります。

結局、
(d²x/dt²) = (- r cosθ)((dω/dt)t + ω)² + (‐ r sinθ)((d²ω/dt²)t + 2dω/dt).
です。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/11 09:52

#1です。

間違えました。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/05/11 09:00

角速度ωがｔの関数で一定ではない、との条件の時、

θ=ωt
の関係が成り立ちません。この関係はωが一定である時だけに成り立ちます。
dθ/dt=ω
の関係は成り立ちます。(これはωの定義です)

x=r・cosθ
を時間で微分すると(r一定)
dx/dt=-rω・cosθ
d^2x/dt^2=-r(dω/dt)・cosθ-r・ω^2・sinθ
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ　の時間微分
ｄｘ／ｄｔ　＝－ｒω・ｓｉｎθ　の間違いでよろしかったでしょうか。

お礼日時：2022/05/11 23:10

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/11 00:07

x=rcosθ

x'=-rsinθ・θ'=-rsinθ・(wt)'=-rsinθ・(w't+w)

x''={-rsinθ・(w't+w)}'
　=-rcosθ・θ'(w't+w)-rsinθ・(w't+w)'
　=-rcosθ・(w't+w)(w't+w)-rsinθ・(w''t+w'+w')
　=-rcosθ・(w't+w)²-rsinθ・(w''t+2w')
　=-rcoswt・(w't+w)²-rsinwt・(w''t+2w')