周波数fで表現したフーリエ変換の対称性に関する質問です。

x(t) = sin(αt)/t
に対し角周波数ωで表現したフーリエ変換
　　X(ω) =∫[-∞→∞]x(t)e^(-jωt) dt
を直接求めることは難しいので、周期2Tのパルス波
　　g(t) = { 1 (-T≦t≦T) : 0(t<-T, t>T ｝
のフーリエ変換
　　G(ω) = 2sin(ωT)/ω
を利用する。ωと t を入れ替えた時間軸上の関数を G(t)、定数 T をαとすると
　　G(t) = 2sin(αt)/t = 2x(t)
　　x(t) = G(t)/2
　フーリエ変換の対称性より
　　∫[-∞→∞]G(t) e^(-jωt) dt= 2πg(-ω)
　　∴X(ω)=∫[-∞→∞]1/2 G(t) e^(-jωt) dt= πg(-ω)
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　以上はわたしの持っている信号処理の本に載っていました。これとまったく同じことを周波数fで表現したフーリエ変換で考えたのですが、正しいでしょうか？
　まず対称性は
　　h(t) =∫[-∞→∞]H(f)e^(j2πft)df
　　h(-t) =∫[-∞→∞]H(f)e^(-j2πft)df
　t と f を入れ替て
　　h(-f) =∫[-∞→∞]H(t)e^(-j2πft)dt

　　x(t) = sin(αt)/t
に対する
　　X(f) =∫[-∞→∞]x(t)e^(-j2πft)dt
を求める。

　　g(t) = { 1 (-T≦t≦T) : 0(t<-T, t>T ｝
のフーリエ変換は
　　G(f) = ∫[-T→T]e^(-j2πft)dt
　　　　 = (-1/j2πf)e^(-j2πft)[-T→T]
　　　　 = (-1/πf2j)( e^(-j2πfT) - e^(j2πfT) )
　　　　 = (1/πf)( e^(j2πfT) - e^(-j2πfT) )/2j
　　　　 = sin(2πfT)/πf
　ωと t を入れ替えた時間軸上の関数を G(t)、定数 2πT をαとすると
　　G(t) = sin(αt)/πt = x(t)/π
　　x(t) = πG(t)
　フーリエ変換の対称性より
　　∫[-∞→∞]G(t)e^(-j2πft)dt = g(-f)
　　∴X(f)=∫[-∞→∞]πG(t)e^(-j2πft) dt = πg(-f)

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/09/14 12:49

ω [radian/s] と f [Hz(=cycle/s)]を換算するには

　　ω = 2πf
を代入する。単にそれだけです。Fourier変換は分野によっていくつかのカタチがありますが、本質的にはどれも同じことで、定数倍がちょっと違うだけ。で、ご質問のように
　　X(ω)=∫[-∞→∞]x(t)e^(-jωt) dt
とすると、その逆変換は
　　x(t)=(1/(2π))∫[-∞→∞]X(ω)e^(-jωt) dω
ですね。代入によってそれぞれ
　　H(f) = X(2πf) = ∫[-∞→∞]x(t)e^(-2πjft) dt
　　x(t) = (1/(2π))∫[-∞→∞]X(2πf)e^(-2πjft) d(2πf)
　　= ∫[-∞→∞]H(f)e^(-2πjft) df

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございます。

> ω [radian/s] と f [Hz(=cycle/s)]を換算するには
> 　　ω = 2πf
> を代入する。単にそれだけです。

　上の問題では対称性によるフーリエ変換の結果が角周波数ωでは
　　X(ω)=∫[-∞→∞]1/2 G(t)e^(-jωt)dt= πg(-ω)
であるのに対し周波数 f では
　　X(f)=∫[-∞→∞]πG(t)e^(-j2πft)dt = πg(-f)
になってしまっています。こちらの場合も
　　X(f)=∫[-∞→∞]πG(t)e^(-j2πft)dt = πg(-2πf)
とすべきなのでしょうか？　であれば、上の計算のどこがおかしいのでしょうか。

お礼日時：2022/09/14 13:27