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合成関数の微分を使う時と、使わず、普通に微分する場合で、どう見分けをつけたら良いのですか?

質問者からの補足コメント

  • ↑微分した後にf'xをかける時とかけないときの違いのことです

      補足日時:2018/02/15 21:29

A 回答 (2件)

簡単に言うと、置き換えを使った場合に合成関数の微分を使います。



例えば
f(x)=(2x+3)^2+4(2x+3)
という関数があったとしましょう。
t=2x+3 と置き換えるとf(x)は
t^2+4t
と書き直せますよね。これをtで微分すると 2t+4 となりますね。tに2x+3を代入すると 4x+10 になります。
しかしxで微分した場合は、この式にtをxで微分したものを掛けなければいけません。t、すなわち2x+3をxで微分すると2ですね。
よって、f(x)の微分は 8x+20 になります。

もう一つの例として、 sin2x の微分も t=2x とおけば同じようにできますね。
sint を tで微分するとcost 、つまりcos2x
tをxで微分すると2なので sin2x をxで微分すると2cos2x ですね。

実際に微分するときはいちいち置き換えの式を書かないと思いますが、頭の中のイメージとしてはこんな感じです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!どれを置き換えれば良いかというのはどうしたらわかるのですか?何度もすみません。

お礼日時:2018/02/15 22:44

お礼についてです。

こればっかりは慣れでしょうか。演習量がものを言います。

例えば、sin□ (□はxの式)ならば□を丸々tに置き換えることがほとんどだと思います。cosやtanでも同じです。
指数関数や対数関数でも同じ。a^□ やlog□ なら□をtとおく、など。

整式なら、最初の回答に書いたぐらいのものなら展開してしまって普通に微分しても良いと思いますが、高次になれば合成関数の微分を使った方が良いですね。
例えば、f(x)=(9x+11)^10 という式を展開するのは大変ですよね。この場合はt=9x+11 と考えると計算は簡単で、
f'(x)=10(9x+11)^9×9=90(9x+11)^9
で良いと思います。展開した形で答えろなんて鬼みたいな問題は、相当ひねくれた出題者じゃない限り出ないかも。

たくさん問題を解けば分かってくると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!沢山練習してみます。

お礼日時:2018/02/16 16:48

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