sin2xの微分について

問題集を見ていて納得ができなかったのでどなたか解説をお願いします。

y=sin2xを微分すると、y'=2cos2xになるとのことでした。
しかし、sin2x=2sinxcosxなので、微分するとy'=2cosxcosx=2(cosx)^2
になるのではないでしょうか？
どなたかご解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/27 00:55

まあ、一番簡単なのは

　2x = u
とおいて
　dy/dx = (dy/du)(du/dx)
なので
　dy/du = d(sin(u))/du = cos(u) = cos(2x)
　du/dx = 2
より
　dy/dx = (dy/du)(du/dx) = 2cos(2x)
とすることかな。

あとは、
　sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
を微分するなら、「関数の積の微分」なので
　(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
にしなきゃだめだよ。

y = 2sin(x)cos(x)　なら
　y' = 2(sin(x))'cos(x) + 2sin(x)(cos(x))'
　　= 2cos(x)cos(x) - 2sin(x)sin(x)
　　= 2[cos^2(x) - sin^2(x)]
　　= 2cos(2x)

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/06/27 06:53

積の微分をわかっていない。

2sin(x)cos(x)を微分すると、

{2sin(x)cos(x)}'　①
=2cos(x)cos(x)+2sin(x){-sin(x)}　②
=2{cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)}　③
=2cos(2x)　④
となるから、何の問題もない。

（①→②は積の微分、③→④はcosの加法定理による）

No.1 回答者： くっくまろん 回答日時： 2020/06/26 22:54

少し勘違いをされてるようですが確かにy=2sinx=2sinxcosxですが、これを微分すると

y'=2(sinx)'cosx+2sinx(cosx)'=2(cosx)^2-2(sinx)^2=2cos2xとなるのでy=sin2xの微分はy'=2cos2xで間違いありません、この微分の仕方は教科書にも載っているはずですよ