アークサインの微分

Sin^-1X^2（アークサインエックス2乗）を微分すると 1/√(X^4-1) であってますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/20 21:56

違います。

1/√(x^4-1)は|x|>1でしか定義できない関数であり、さすがに違うことはすぐにわかりそうだ。

y=arcsin(x^2)
とおくと
x^2=sin(y)
この式をxで微分すると
2x=cos(y)・dy/dx
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
となります。

この回答への補足

ご解答ありがとうございます＾＾
最後の式の
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか？

よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/07/20 22:43

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2011/07/21 04:44

#3です。

A#3の補足質問について

>(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
>のあとのcos(y)がわかりません。
>なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか？

後続の微分を取るところ
>>(3)をxで微分
>>cos(y)y'=2x …(5)
>>y'=2x/cos(y) …(6)
>>y'=2x/√(1-x^4)…(7)
でcos(y)が出て来て(6)でcos(y)を代入消去する必要があるので、
前もってcos(x)を(3)のsin(y)から求めておくわけです。
導出は公式sin^2(y)+cos^2(y)=1　から
cos^2(y)=1-sin^2(y)
y=sin^-1(x^2)の値域から、|y|<π/2でcos(y)>=0なので
>>cos(y)=√{1-(sin(y))^2} ←これに(3)のsin(y)=x^2を代入して
>>=√(1-x^4) …(4)
と cos(y)をxの式で表せる。
これを(6)に代入すれば　y'の答えの式(7)が得られるわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/20 23:45

#1のものです。

>(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)　　　←ここ間違えていました。 (arcsin(x^2))'= が正しい
>のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか？

cos(y)≧ですので
{cos(y)}^2+{sin(y)}^2=1より
cos(y)=√{1-{sin(y)}^2}
となります。
sin(y)=sin(arcsin(x^2))=x^2　を代入すれば
cos(y)=√(1-x^4)
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10

No.4 回答者： IveQA 回答日時： 2011/07/20 23:31

ANo.2

＞授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。
1）asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2）y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか？

1)の微分公式を使うなら、さらに合成関数の微分公式を利用。
g(x)=x^2とおいて{asin(g(x))}'=g'(x)/√{1-g(x)^2}として求める。
2)の方法はANo.1,3で回答されているので彼らに譲る。

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/07/20 22:03

y=sin^-1(x^2) …(1)

sin^-1の定義から　-π/2<=y<=π/2　…(2)
sin(y)=x^2　…(3)
(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^4) …(4)
(3)をxで微分
cos(y)y'=2x
y'=2x/cos(y)=2x/√(1-x^4)

したがって、
> 1/√(x^4-1) であってますか？
は間違いです。

この回答への補足

ご解答ありがとうございます＾＾
(2)の範囲では　cos(y)>=0なので,(3)より
のあとのcos(y)がわかりません。
なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか？

補足日時：2011/07/20 22:38

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10

No.2 回答者： IveQA 回答日時： 2011/07/20 21:58

残念！

asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求めた？
それともy=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求めた？
途中計算を補足欄にでも書いてくれればチェックするよ。
（asinはsinの逆関数でsin^(-1)のこと。）

この回答への補足

ご解答ありがとうございます＾＾
授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。

1）asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2）y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか？

よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/07/20 22:41

この回答へのお礼

ありがとうございました＾＾

お礼日時：2011/07/24 16:10