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この問題の半径rと中心核αの扇型の重心の位置を求める問題がさっぱりです‥‥
計算式となんでその式になったかも教えてください!

「この問題の半径rと中心核αの扇型の重心の」の質問画像

A 回答 (3件)

これも前の質問と同様、任意の点の周りのモーメントを考えて、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」で求めてみましょう。


 半径方向の変数を小文字の「r」で書き、扇型の半径を大文字の「R」で表わします。

 上下対称なのです、重心はθ=0 の線上、つまり x 軸上にあります。
 モーメントの総和は、まず「角度 θ の微小扇型」で求め、これをθで積分する順序でやってみましょう。

(1)まずは、微小扇型の微小部分のモーメントの総和
 ∫(x*ΔS)dx = x0 * S   (1)
を求めてみましょう。

微小扇型では、 r~r+dr の面積 ΔS は、周方向が rdθ、径方向が dr ですから
 ΔS = rdθ * dr
となります。よって(1)の左辺は、x=r*cos(θ) ですから
 ∫[r=0~R](r*cos(θ)*ΔS)dr
= ∫[r=0~R](r*cosθ*rdθ)dr
= (cosθ*dθ)∫[r=0~R](r^2)dr
= (cosθ*dθ)[ r^3 /3 ][r=0~R]
= (R^3 /3)*cosθ*dθ   (2)

(2)次に、扇型全体のモーメントの総和を求めます。

扇型全体のモーメントの総和は、(2)をθについて -a/2 ~ a/2 で積分して
 ∫[θ=-a/2 ~ a/2 ][ (R^3 /3) * cosθ ]dθ  (B)
= (R^3 /3) * [ sinθ ][θ=-a/2 ~ a/2 ]
= (R^3 /3) * 2sin(a/2)

(3)扇型全体の面積は、円の面積のうちの角度「 -a/2 ~ a/2 → a 」に相当する分で
 S = π * R^2 * a/2π
  = a*R^2 /2
なので(1)式のモーメントのつり合いは

 (R^3 /3) * 2sin(a/2) = x0 * a*R^2 /2

より

 x0 = (4R/3a) * sin(a/2)

 つまり、重心の座標は ( (4R/3a) * sin(a/2), 0) ということです。
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>重心=∫(x, y)dm



ああ、間違ってる(^^;

重心=∫(x, y)dm/M (Mは総質量 = ∫dm)

ANO1 では ∫dm=M=1 として解いてます。
この問題では、総重量とは」無関係に重心位置が
決まるからです。
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重心の定義通りに地道にやれば解けますよ。



扇形の重さを仮に1 とすると、面積は πr^2(α/(2π))=αr^2/2
だから単位面積当たりの重さρ=2/(αr^2)

で重心は、扇形を微小質量の集まりと考え、位置 (x, y)に微小質量dm
があるとすると、重心は、教科書の公式通りに

重心=∫(x, y)dm

座標の原点から微小質量までの距離を L, 微小質量と原点を結ぶ直線が
x軸となす角度をθとすると

dm = ρLdθdL なので

重心=∫(x, y)dm
= 2/(αr^2)∫[-α/2→α/2]∫[0→r](Lcosθ, Lsinθ)L^2dLdθ
=(4r/3α)(sin(α/2), 0)

とあっさり出てきます。
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