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加法定理の応用問題でcosα=√1-sin2乗αとなる理由がわかりません。どの公式を変形したらこのようになるのか説明していただけませんか?

A 回答 (5件)

sin²α+cos²α=1 は分かりますね。


ですから cos²α=1-sin²α → cosα=±√(1-sin²α) 。
α が 第1象限、第4象限 のとき cosα=√(1-sin²α) 。
第2象限、第3象限 では cosα=-√(1-sin²α) となります。
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この回答へのお礼

二倍角の公式を利用するのかと勘違いしてました笑
ありがとうございます。

お礼日時:2020/05/24 00:18

狭義の変形方法は次の通りです


底辺=a 、高さ=b 斜辺=c 底辺と斜辺がなす角をαとする直角三角形において
三平方の定理から
a²+b²=c²
移行して
a²=c²-b²
両辺c²でわると
(a/c)²=1-(b/c)²
ここで、sinα=高さ/斜辺=b/c
cosα=底辺/斜辺=a/cですから
(a/c)²=1-(b/c)²
⇔cos²α=1-sin²αです
ゆえに
cosα=√1-sin²α

広義には
sin²α+cos²α=1が知られているので
やはり移行して
cos²α=1-sin²αとなり
cosα=√1-sin²α です 
(ただしαが90度~270どの場合はcosα=-√(1-sin²α)
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(sinα)^2+(cosα)^2=1


から2ステップ。
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斜辺1の直角三角形で、xy座標意識して任意の角θのcosθはx値、sinθはy値相当


ピタゴラスの定理そのままで、x²+y²=1を変形、x²=√(1-y²)
x=√(1-y²)を得る。x値をcosθに、y値をsinθに戻せば、
cosθ=√(1-(sinθ)²)と、なる。

どうでしょうか?
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sin²α+cos²α=1


cos²α=1-sin²α
cosα=±√(1-sin²α)
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