sin(nx) が sin x の多項式であることの証明

ある本に「n を奇数の正整数とするとき、sin(nx) はsin x の多項式であることを証明せよ。」
という問題があり、四苦八苦しました。証明はできたのですが、
自分の証明のとおりだとすると相当に意地悪な問題だと思います。
さて、他にうまい方法があるのかと思って質問してみました。
本に解答はありません。また、自分の証明はとりあえず伏せておきます。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/04 21:41

Ａ[n]=sin(2n-1)x とする。

A₁=sinx で成立は自明。
A₁～A[n]で成立を仮定。

A[n+1]=sin(2n+1)x=sin{(2n-1)x}cos2x+cos{(2n-1)x}sin2x・・・・2項を積和公式で分解
=A[n](1-2sin²x)+[ sin{(2n+1)x}-sin{(2n-3)x} ]/2
=A[n](1-2sin²x)+[ A[n+1]-A[n-1] ]/2

A[n+1]をまとめると

A[n+1]/2=A[n](1-2sin²x)-A[n-1]/2 → A[n+1]=2A[n](1-2sin²x)-A[n-1]
したがって、A[n+1] で成立。
ゆえに、A[n]は sinxの多項式となる。

この回答へのお礼

積和公式をうっかりしていました。また、A[n-1] までさかのぼる必要があるのですね。
小生の場合は、加法定理を何度も使ったあげく循環してしまいました。もう一歩踏み込めばよかったと思います。仕方なく、帰納法の仮定を sin{(2n-1)x} と cos{(2n-1)x}cosx
の両方とも sinx の多項式で表されるとして証明しました。つまり、もう一つ仮定を設けました。

お礼日時：2019/12/05 09:03

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/05 23:06

すみません、字が細かくてよく見えませんでした。

いつも思うけど爺にはこれはきついなぁ、
この質問者の感想欄は（笑）
いえいいですよ。結局
sin{(2n-1)x} と cos{(2n-1)x}cosxが両方同時に
sinθの多項式であることを証明したわけだから
それぞれが単独で成り立つという結論でいいです。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/12/05 18:14

これはすべての奇数nにたいして

sin(nx)、cos(nx)cosxが両方ともsinxの多項式であることを
帰納法で証明すればよい。
つまり
ｎ＝1のときはあきらか、
ある奇数ｎにたいしてsin(nx)、cos(nx)cosxが両方ともsinxの多項式であること
を仮定すれば
ｎの次の奇数ｎ’＝ｎ＋2にたいして
sin(n’x)、cos(n’x)cosxがやはりsinxの多項式であることがすぐでてきます。

この回答へのお礼

すみません。その解答は私もできていました。no.1 の補足に記入しております。
しかしながら、帰納法で一つの命題を証明するために対の命題を証明するパターンは珍しいと思いますが、どうでしょうか？

お礼日時：2019/12/05 18:57

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/05 11:15

私も　cos{(2n-1)x}と対でと、思ったりしましたが、cos xを付ければよかったのですね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/04 22:08

cos(nx) = T[n]( cos x ) となるような多項式 T[n] が存在する。

T[n] は n 次多項式であって、n が偶数のとき偶数次の項のみ、
n が奇数のとき奇数次の項のみからなる。　←[0]
これを一括して n についての数学的帰納法で示してしまいましょう。

n = 1 のとき、 T[1](y) = y で [0] は成り立ちます。

n = m のとき [0] が成り立つとすると、 cos(mx) = T[m]( cos x ).
この式を x で微分して、 (-m)sin(mx) = T[m]’( cos x )・(- sin x).　←[１]
cos の加法定理より
cos((m+1)x) = cos(mx+x) = cos(mx)・(cos x) - sin(mx)・(sin x)
= T[m]( cos x )・(cos x) - (1/m)T[m]’( cos x )・(sin x)・(sin x)
= T[m]( cos x )・(cos x) - (1/m)T[m]’( cos x )・{ 1 - (cos x)^2 }.
ですから、
T[m+1](y) = T[m](y) y - (1/m)T[m]’(y)・(1 - y^2) と置けば、　←[２]
多項式 T[m+1] によって cos((m+1)x) = T[m+1]( cos x ) が成り立ちます。

m が偶数のとき、T[m] は偶数次の項のみからなるので
T[m]’ は奇数次の項のみからなり、
よって [2] で定まる T[m+1] は奇数次の項のみからなります。
m が奇数のときも同様に、T[m] が奇数次の項のみからなるので
T[m]’ は偶数次の項のみからなり、
よって [2] で定まる T[m+1] は偶数次の項のみからなります。
以上より、次数に関する記述も含めて [0] は n = m+1 のときも成り立ちます。

以上より、数学的帰納法によって、 [0] はすべての自然数 n で成り立ちます。
そこから [1] によって sin(nx) = (1/n)(sin x) T[n]’( cos x ) が従いますが、
n が奇数のとき T[n]’ は偶数次の項のみからなるので、
式中の各 (cos x)^2 を 1 - (sin x)^2 で置き換えれば
右辺は sin x の多項式で表されています。

この回答へのお礼

T[n](x) はチェビシェフの第1種多項式と呼ばれるものですね。
実は、cos(nx)=T[n](cosx) と表されることや、T[n+1](x)=2xT[n](x)-T[n-1](x) の関係が成り立つことは証明していたのですが、T[n](x) に含まれる項の次数を利用することは思いつきませんでした。

お礼日時：2019/12/05 09:14