
二つの楕円(0<b<a)
x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・(1)
x^2/b^2+y^2/a^2=1・・・(2)
の共通部分の面積を求めよ
という問題なのですが途中で分からなくなります
<私の途中までの考え方>
第一象限での共通面積S'の4倍=求めるべき共通面積
よってS=4S'
第一象限において二つの楕円の交点を(s,t)とする。
(1)を整理して
y=(b/a)√(a^2-x^2)
(2)を整理して
y=(a/b)√(b^2-x^2)
S'=∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx
ここでsがab/√(a^2+b^2)という所までは分かりました。
∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
x=bsinθと置いて
範囲は
x;b→ab/√(a^2+b^2)
θ;π/2→?
ここのab/√(a^2+b^2)=bsinθとした時のθが分からず詰まってしまいました。
初歩的なことなのかもしれませんが・・・どなたか教えていただけないでしょうか?
もしかすると”x=bsinθと置いて”の部分からすでに違うのでしょうか?
ちなみに答えは4abtan^-1(b/a)です。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
a≧b>0の場合は
> S'=∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx
S'=∫[s→b](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[0→s](b/a)√(a^2-x^2)dx
[積分の下限→積分の上限]の形式で書くようにして下さい。
> ∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
∫[ab/√(a^2+b^2)→b](b/a)√(b^2-x^2)dx
と訂正すれば
> x=bsinθと置いて
この置き方でOK。
> 範囲は
> x;b→ab/√(a^2+b^2)
x:vab/√(a^2+b^2)→b
> θ;π/2→?
θ:tan^-1(a/b)→π/2
です。
なお、a≧b>0の場合は
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
で計算できます。
この場合の変数変換はx=a*sinθ、θ:0→tan^-1(b/a)です。
回答ありがとうございます。前回の質問にも回答していただいた方ですね。
ご指摘ありがとうございます。次からは[積分の下限→積分の上限]の形式で書こうと思います。
ab/√(a^2+b^2)=asinθを整理し、
θ=tan^-1(b/a)を出すことは出来ました!
そのまま
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
この積分で解いていったところ
S=
4ab*tan^-1(b/a)+2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
となったのですが。答えが4ab*tan^-1(b/a)なので
2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
この部分は0になるということですよね?
このsin{2tan^-1(b/a)}と
cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。
No.2
- 回答日時:
A#1の補足質問の回答
> この部分は0になるということですよね?
そうなります。
計算プロセスは下に書いておきます。
α=tan^-1(b/a)と置き換えると考えやすいですね。
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
ですから
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)です。
[おまけの公式]
tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2
cos^-1(x)+sin^-1(x)=π/2
これも覚えておく(導けるようにしておく)と役立つでしょう。
質問の件の計算プロセス
> このsin{2tan^-1(b/a)}と
> cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。
sin{2tan^-1(b/a)}=2sin{tan^-1(b/a)}cos{tan^-1(b/a)} ←2倍角の公式
=2{b/√(a^2+b^2)}{a/√(a^2+b^2)}=2ab/(a^2+b^2)
cos{2tan^-1(b/a)}
=[cos{tan^-1(b/a)}]^2-[sin{tan^-1(b/a)}^2 ←2倍角の公式
={a^2/(a^2+b^2)}-{b^2/(a^2+b^2)}=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
> 2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
=2ab*{2ab/(a^2+b^2)}+2a^2{(a^2-b^2)/(a^2+b^2)}-2a^2
=(4a^2*b^2+2a^4-2a^2*b^2-2a^4-2a^2*b^2)/(a^2+b^2)
=0
ありがとうございます!
できました!
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)
これが思いつかなかったようです。これをみて理解し、あとは自力で0を導けました!
tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2の導き方もわかりましたよ!
tan^-1(a/b)=α、tan^-1(b/a)=β
として
cosα=sinβ=sin(π/2-α)を出し
β=π/2-α
よってtan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2ですね!
それでは失礼します
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