画像の問題について質問です。問題式を楕円の式に変形して、積分範囲を0<=x<=a √(z^2-1)

画像の問題について質問です。問題式を楕円の式に変形して、積分範囲を0<=x<=a √(z^2-1) , 0<=y<=b√(z^2-1) , 1<=z<=c として3重積分したのですが、答えが合いませんでした。どこが間違っているのでしょうか。
ご教示宜しくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• こちらの式で求めたのですが、どこが間違っているでしょうか

  
    補足日時：2022/08/29 14:39

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/29 18:56

答えにπが無い。

ただ左辺は (全く)間違っている。

楕円は
　x²/{a√(z²-1)}²+y²/{b√(z²-1)}²=1
だから、xを固定した時のyは
　y=±b√(z²-1)√{1-x²/{a√(z²-1)}²}=±(b/a)√{a²(z²-1)-x²}
だから、yの積分範囲は
　y=-(b/a)√{a²(z²-1)-x²}～(b/a)√a²{(z²-1)-x²}

xの積分範囲は、
　x=-a√(z²-1)～a√(z²-1)
となる。

したがって、遇関数を考えて
　4∫[z=1,c] ∫[x=0,a√(z²-1)] ∫[y=0,(b/a)√{a²(z²-1)-x²}] dydxdz
となる。

まず、yの積分は
　∫[y=0,(b/a)√{a²(z²-1)-x²}] dy=(b/a)√{a²(z²-1)-x²}

xの積分は
　∫[x=0,a√(z²-1)] (b/a)√{a²(z²-1)-x²}dx

u=x/{a√(z²-1)} と変換すると

　=(b/a){a²(z²-1)}∫[x=0,1] √(1-u²) du

u=sinθ と変換して

　=(b/a){a²(z²-1)}∫[0,π/2] cos²θdθ
　=(b/a){a²(z²-1)}π/4
　=(πab/4)(z²-1)

zで積分して(4倍を忘れずに)
　4(πab/4)∫[z=1,c] (z²-1) dz
となり、後は簡単。

この回答へのお礼

非常に分かりやすい解説ありがとうございました。とても助かりました。

お礼日時：2022/08/29 22:10

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/29 14:27

あなたの式が書いて無いので何とも言えない。

それよりも簡単に、zでの楕円は
　x²/{a√(z²-1)}²+y²/{b√(z²-1)}²=1
この楕円の面積は
　πab(z²-1)
とわかっている。

したがって、この楕円について、dzの厚みの体積を z=1～c
まで積分すればよいから
　∫[1→c] πab(z²-1)dz=πab{[(z³/3-z][c,1])
　=πab{(c³/3-c)-(1/3-1)}
　=πab(c³/3-c+2/3)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。確かに楕円の面積を積分すれば答えがでますね…

お礼日時：2022/08/29 14:39

No.1 回答者： ぐーるぐる 回答日時： 2022/08/29 13:47

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