この分かる方解説していただきたいです｡ 問題5.x^2+y^2+z^2≤9から円柱x^2+y^2≤1

この分かる方解説していただきたいです｡
問題5.x^2+y^2+z^2≤9から円柱x^2+y^2≤1が切り取る部分の体積を求めよ｡
問題6. 不等式x^2+y^2≦1,0≦z≦x+y+1で定まる図形の体積を求めよ｡

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/16 14:46

5.

xy平面の極座標を取ると
　x²+y²=r²
　dxdy=rdθdr

第一象限の8倍だから
　z=√(9-(x²+y²))=√(9-r²)

　V=8∫z dxdy=8∫[r=0,1] ∫[θ=0,π/2] √(9-r²) rdθdr
　　=(8π/2)∫[r=0,1] √(9-r²) rdr
・・・・√(9-r²)=u と変換して udu=-rdr だから
　　=4π∫[u=3,√8] -u²du
　　=4π [-u³/3] [√8,3]=4π(27/3-8√8/3)
　　=(4π/3)(27-16√2)

6.
A面:z=x+y+1
とxy平面の交線は x+y+1=0で、傾きは45゜、原点との距離は
1/√2。この面をz軸回りに45゜回転すると
　y=-1/√2
の直線に移り、A面のyz面での傾きは、(y,z)=(-1/√2,0),(0,1)を
とおるから
　z=(y+1/√2)/(1+1/√2)=(√2y+1)/(√2+1)
に移る(xに依存しない)。

したがって、
　x=√(1-y²)

　V=∫[y=-1/√2,1] 2xz dy
　　=∫[y=-1/√2,1] 2√(1-y²) (√2y+1)/(√2+1) dy
　　={2/(√2+1)}∫[y=-1/√2,1] √(1-y²) (√2y+1) dy

　A=∫[y=-1/√2,1] √(1-y²) ydy
・・・・√(1-y²)=uと置くと -ydy=udu なので
　　=∫[y=1/√2,0] -u²du=[-u³/3] [0,1/√2]
　　=0+1/(6√2)=1/(6√2)

　B=∫[y=-1/√2,1] √(1-y²) dy
・・・・y=sinθと変換すると dy=cosθdθ なので
　　(θ=-π/4～π/2のとき、cosθ≧0)
　　=∫[-π/4,π/2] cos²θdθ=∫[-π/4,π/2] (1+cos2θ)/2 dθ
　　=[(θ/2+sin2θ/4][π/2,-π/4]
　　=3π/8+(0+1)/4=3π/8+1/4

　V={2/(√2+1)}(√2A+B)={2/(√2+1)}(1/6+3π/8+1/4)
　　={2/(√2+1)}(10/24+3π/8)
　　={1/(√2+1)}(5/6+3π/4)
　　=(5/6+3π/4)/(√2+1)

この回答へのお礼

返答ありがとうございます｡

お礼日時：2023/01/18 14:43