円の表面積、体積

円の表面積、体積が４πｒ２乗、４／３πｒ３乗というのは知っているのですが、何故そうなるのかがわかりません。自分でもいろいろと考えてみたのですが、まったくダメです。誰か教えて下さい。出来れば中学生なのでわかりやすくお願いします。

No.5 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/01/08 10:27

「区分求積法」「球の体積」で検索してください。

中学生には難しすぎるかもしれませんが。
これは、球を包丁で薄く輪切りにして、それぞれの片を円盤として計算し、加え合わせるものです。
このとき、輪の厚さが誤差を生みますから「極限」という考え方が必要になります。これは、輪をどこまでも薄く切ったときの「果て」を考えるわけです。
区分求積法と極限の考えを同時に使って、扱いやすくした分野が「積分」です。高校になれば、積分の入り口ぐらいは習うかもしれません。

No.4 回答者： may-may-jp 回答日時： 2002/02/09 23:56

この問題を理解するためには、高校の「微分積分」の、「積分」の考え方を習わないとできません。

興味がある場合には、本屋さんへ行って高校生の積分の参考書（できるだけ入門のもの）を見てみるのが良いと思います。

ここで中学生に分かりやすく説明できるだけの自信はないので、一応アドバイスまで。

参考：「細野真宏の数(3)の教科書が面白いほどわかる（積分基礎編）」など。

No.3 回答者： ume_pyon 回答日時： 2002/02/09 23:36

なかなか面白いサイトを発見しました．

球の表面積
http://www2.ocn.ne.jp/~mint905/fhpstory/mikan/mi …

球の体積
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

ちなみに，以上の２つのページでは，それぞれ求め方が独立してますが，
表面積がわかれば，その値から体積も求められます．
ちょっと図が描けないので，非常にわかりにくいと思いますが，
みかんを「細かく分ける」という考え方でも理解できます．
ご参考まで．

まず，みかんを房ごとに分けてみましょう．
さらに，この半円状の１房を，円の中心(みかんの種がある辺り)から放射状に切っていきましょう．すると，切られたみかんは，底面が少し膨らんだ四角錐のような形になりますよね．
もしこの四角錐が限りなく細ければ，底面は平らに見え，この四角錐の高さは近似的にｒとなります．このような四角錐状のみかんをずらっと並べます．そうすると，高さがrの四角錐が並んでいます．
このおびただしいみかんの総面積は，実は底面積が4πr^2，高さがrの
四角錐とおんなじ面積なんです（等積変形の理論から）．
したがって，
4πr^2×r×1/3=4/3πr^3
となります．

※「^2」というのは，2乗の意味です

No.2 回答者： Noy 回答日時： 2002/02/09 23:22

こんばんわ。

Noyといいます。

円すいの体積の公式は、1/3×底面積×高さですね。

小学生の時に、底面積と高さの同じ円柱の容器と円すいの容器を使って、円柱の容器に円すいの容器を使って、水を何倍くめるか、という感じの実験をやりませんでしたか？

中学生の段階では（って僕も中学生ですが…）、そのような実験でもとめる方法が一番わかりやすいと思います。

もうすこし発展的な高校や大学の事をいうと、カバリエリの定理や三平方の定理で証明できます。

今、その定理から勉強しようとすると、混乱すると思うので、それは習うまでの疑問としておいておけばいいと思います。でも、「なぜそうなるの？」と思う事はいいことだと思います。

ま、公式自体はgtozekiさんの仰有るとおり、体積は３次元なので３乗（立方センチメートルの単位にも３乗はついていますね）、表面積は２次元なのでそれぞれそうなると覚えておけると思います。

あまり満足できる回答とはいえませんが、お役に立てると光栄です。

No.1 回答者： gtozeki 回答日時： 2002/02/09 23:07

中学生にわかりやすく説明するのは少々難しいのですが・・・

とりあえず体積は３次元の中（たて・よこ・おくゆき）に存在する「立体」ですので、例えばcm3の単位と同様４／３πｒ「３乗」が必要です。
なーんて覚えて、大学でホントの意味を勉強してみてはいかがでしょうか？