ドーナツの外側の体積を求めるには

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質問者：viyamin
質問日時：2010/04/08 12:38
回答数：5件

ドーナツの体積は、
断面積×中心線の演習長さ
で求められるようですが、

ドーナツの外周側半分の体積の求め方を教えてください。

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回答 (5件)

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No.3ベストアンサー

回答者： jamf0421
回答日時：2010/04/08 14:08

もとの全体積を出すやり方に立ち戻って考えればよいのです。

ドーナツの断面の円の半径をr、ドーナツ自身の中心から断面の中心までの距離（半径）をRとします。ドーナツを水平面で切ってそのスライス（輪の形）の体積の合計を求めればドーナツの体積になります。
スライスの外側の半径はR+rcosθ
スライスの内側の半径はR-rcosθ
です。ここでθは、半径rの断面で、その中心からスライスした面とドーナツの交点へ線を引いたときの水平からの角度です。
V=∫π{(R+rcosθ)^2-(R-rcosθ)^2}dh...(1)
ここでh=rsinθですから、dh=rcosθdθです。これより
V=π∫(4Rrcosθ)(rcosθ)dθ=4πRr^2∫cos^2θdθ...(2)
ここで積分範囲は-π/2～π/2です。
∫cos^2θdθ=(1/4)sin2θ+(1/2)θ+C
ですから
V=(4πRr^2)*(π/2）=2π^2Rr^2...(3)
となります。これを外側半分の場合に適用するだけです。今度は
V=∫π{(R+rcosθ)^2-R^2}dh...(4)
となります。積分範囲は同じです。
V=π∫(2Rrcosθ+r^2cos^2θ)rcosθdθ
=πr^2∫(2Rcos^2θ+rcos^3θ)dθ...(5)
ここで∫cos^2θdθ=(1/4)sin2θ+(1/2)θ+C, ∫cos^3θdθ=(1/12)sin3θ+(3/4)sinθ+Cですから
V=2πRr^2[(1/4)sin2θ+1/2θ]+πr^3[(1/12)sin3θ+(3/4)sinθ]
で積分範囲が-π/2～π/2なることに注意して
V=2πRr^2(π/2)+πr^3(-1/6+3/4)=π^2Rr^2+(4/3)πr^3
となります。（多分計算違いしていないと思うのですがお確かめを）

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
水平面で切るのですね。

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お礼日時：2010/04/16 11:46

No.5

回答者： felicior
回答日時：2010/04/08 23:16

>> 断面積×中心線の演習長さ

この公式は普通のドーナツ形じゃなくても、回転体一般に使えます。
ただし、中心線の演習長さのところは断面の重心が描く円周長さと読み替えます。
これを利用していいのなら積分は使わなくて済みます。

私もNo.3さんと同じ箇所をR、rとします。
半円の重心位置を求めるため、円の中心から半円の重心までの距離をaとします。

球が半円の回転体であることを利用すると、半円の重心が描く円周長さは2πaなので、
先ほどの公式より、
(1/2)πr^2×2πa＝(4/3)πr^3
が成り立ちます。ドーナツ形の中心から半円の重心までの距離はR+aなので、
これが一周する距離は2π(R+a)です。よって再び公式より、
V＝(1/2)πr^2×2π(R+a)
展開して先ほどの関係式を代入すると
V＝(π^2)(r^2)R＋(4/3)πr^3
となり、No.3の方の結果と一致します。
ちなみにドーナツの“内側”の体積は上の結果のプラスをマイナスに変えるだけなのは
明らかだと思います。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

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お礼日時：2010/04/16 11:47

No.4

回答者： naniwacchi
回答日時：2010/04/08 14:40

#2です。

#3さんの定義（半径の置き方）で計算すると、
V＝∫[0→r] 2π* (R+ x)* 2√(r^2- x^2) dx

となります。
計算結果は、#3さんと同じになります。
V＝4π* [ ∫R*√(r^2- x^2) dx ＋∫x*√(r^2- x^2) dx ]

と分けた方が分かりやすいと思います。