東大の問題です。 空間内の点の集合 {(x,y,z)|0≦y,0≦z}に含まれ，原点Oにおいてx軸に

東大の問題です。

空間内の点の集合 {(x,y,z)|0≦y,0≦z}に含まれ，原点Oにおいてx軸に接し，xy平面と45度の傾きをなす，半径１の円盤Cがある。 座標が(0,0,2√2)の位置にある点光源Pにより，xy平面上に投ぜられた円盤Cの影をSとする。

⑴Sの輪郭を表すxy平面上の曲線の方程式を求めよ。
⑵円盤Cと影のの間にはさまれ，光の届かない部分の作る立体の体積を求めよ。

⑴はx²+y²-2√2 *y=0となりました。⑵は斜円錐の体積を考えて出すやり方で自分は解きました。解説もそうでした。ただ、そのやり方をやる前にz軸に垂直に切断した断面積を、z軸方向に積分する方法でやろうとして分からなくなった経緯があります。z軸に垂直に切った断面積をz軸方向に積分するやり方を教えて頂きたいです。

※斜円錐の体積を考えて出すやり方の方を参考として写真に載せております。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 東京大学　1984年出題の問題です。
  投稿前に、過去問サイト等で検索して調べてみましたが、添付した解法しか見つけることができませんでした。もちろんこの解答で合っているのですが、自分が最初に考えてみたz軸方向に積分するやり方でもできるようになりたいので今回の投稿となりました。宜しくお願いします。

    補足日時：2021/05/08 02:41

• こちらの問題を参考にもしてみておりました。
  1983年東大の問題の解説動画です。
  
  

    補足日時：2021/05/09 03:37

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/09 01:32

参考の図をつかいつつ当該立体を面 z=z_0 で切った断面を考える.

・円の部分は中心 (0, √2 - z_0/2, z_0), 半径 √2 - z_0/2
・直線部分は x = z_0
かな?

この断面の面積を z_0 で書いて, それを 0 から √2 まで積分すればいいんだろうけど... 面積が単純には書けない気がする.

この回答へのお礼

回答頂きありがとうございます。

添付写真のようにV₀−V₁をしてVを求めるのではなく、直接Vを求める、ということですよね。z=z₀で切ったとして、その断面は円になるのでしょうか？円の一部が直線的に欠けたような形になると思うのですが、、アドバイス頂いた円の中心と半径から円の立式(複雑)ができますが、x=z₀の式が加わることでそれが表されるのでしょうか。稚拙な質問ばかりで申し訳ありません。よろしくお願いいたします。

お礼日時：2021/05/09 01:58

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/09 03:22

補足というか蛇足.

Wikipedia の「弓形」の項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%93%E5%BD%A2
によると「弓形」は円を弦で切ったうちの「小さい」方というのが正しいっぽい. けど, その辺はニュアンスで感じとってほしい.

でそこには面積の式もあるけど, そのまま使うと困ったことになりそう (中心角 θ の範囲があやしい). 弓形の中心角の半分を使って式を立てることはできて, その「中心角の半分」とここで考える z座標との関係も導けるので, 少なくとも「なんかの関数の定積分」の形には書ける. どういう式になるかは考えてないので, どうやって積分すればいいのか (あるいはそもそも積分できるかどうか) はわからん. 置換積分や部分積分を駆使すればできるのかなぁ.

あ, 断面に円が出てくる (はず) ってのは大丈夫かな?

この回答へのお礼

「満月が、直線的に欠けたもの」とイメージしております。リンクまでつけて頂きありがとうございます。

なにやらとても難しそうですね…自分で最後までやれるか不安ではありますが、他にも類題等探してみて参考にしつつやってみようと思います。

「断面に円が出てくる(はず)」ということですが、今回の問題以外での理解度のことでしょうか？
現時点での理解度としては、例えば求めたい体積がハム(スライス前の長さのある円柱状)だとして、それを幅のない円柱状にスライスした場合には断面に円が出てくる、という考えはあり、それを数学に落とし込むことはできるのですが、今回のように円にならなさそうなもののスライスをかき集める(積分する)ときが分からなくなっていました。

お礼日時：2021/05/09 03:34

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/09 02:18

「z軸に垂直に切った断面積をz軸方向に積分する」を「体積を直接求める」と解釈したんだけど... 違う?

で, 断面自体は「円を直線 (弦) で切った」形, いわゆる「弓形」になる... と思う. 本当に「円」かどうかは確認してないけど. その部分の面積は円の半径と円の中心から弦までの距離を使って書けるので, それをどうにかこうにかして式で書いたうえで努力と根性の積分になるような気はするよ.

なお高校の範囲でできるかどうかは考慮の対象外.

この回答へのお礼

その解釈で間違いありません。混乱を招いてすみません。

断面の形をうまく言い表すことができなかったのですが、回答のように「弓形」になると思います。とても分かりやすい表現で勉強になります。

元の出題が解けた上での、プラスアルファ問題として出された問題だったので、もしかしたら高校数学から超えているのかもしれません。ですが、アドバイスして頂いて、頑張って解けるところまで解いてみようと思います。

ありがとうございます！

お礼日時：2021/05/09 02:25