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PA=PB=PC=4,AB=6,BC=4,CA=5である三角錐PABCの体積Vはいくつになるか教えてください

A 回答 (2件)

△ABCで、余弦定理より


cosA=(6^2+5^2-4^2/(2・6・5)=(36+25-16)/(2・6・5)=45/(2・6・5)=3/4
sinA=√(1-cos^2A)=√{1-(3/4)^2}=√{1-(9/16)}=√(7/16)=(√7)/4
△ABC=(1/2)・6・5・sinA=(1/2)・6・5・(√7)/4=(15√7)/4

PA=PB=PC=4 より
Pから底面に下した垂線の足をHとすると、Hは△ABCの外心になる。

△ABCで、正弦定理より
2AH=4/sinA=4/{(√7)/4}=16/√7
AH=8/√7

△PAHで、三平方の定理より
PH=√[4^2-{8/(√7)}^2]=√{16-(64/7)}=√(48/7)=(4√3)/√7
したがって、求める体積Vは
V=(1/3)・△ABC・PH=(1/3)・(15√7)/4・(4√3)/√7=5√3
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5√3?

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