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質問させてください。

半径:r の球があり、
それを任意の平面で切ったとき、
底面(切り口)からの高さをHとします。

その切り取られた部分の体積Vを求める公式が、
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となっていました。

公式をみてもなぜそうなるかが全くわかりません。
わかる方おられましたらぜひご教授ください。
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

図より、高さxにおける断面積は{r^2-(r-x)^2}*πとなるので、


積分範囲0~Hでxについて積分すればよい。

∫{r^2-(r-x)^2}×π dx
=∫(2rH-H^2)×π dx
=πrx^2-πx^3/3
=(π/3)×H^2×(3r-H)
「球を任意の平面で切ったときの体積」の回答画像2
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この回答へのお礼

図付きの回答までいただきありがとうございます!
非常に分かりやすかったです!
完全に謎が解けました!

お礼日時:2009/05/26 17:39

そもそもですが、


x^2+y^2=r^2をx軸周りに回転させると半径rの球になり、その体積は

∫[-r,r]πy^2dx
=∫[-r,r]π(r^2-x^2)dx

=4πr^3/3
で求められることはわかりますか?

そうすれば、求める体積は
∫[-r,H-r]πy^2dx
であり、これを計算すれば
V=(π/3)×H^2×(3r-H)
となるかと
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
ずっと数学から離れてたので解き方が全く思いつきませんでした。
参考になりました!

お礼日時:2009/05/26 17:38

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