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おはようございます。

指数(?)についてなんだかもやもやしています。

Xが長さだとすれば、2乗は面積、3乗は体積、でも4乗は現実の何を指しているんだろう、と気になっています。

それから、指数法則とかで(X^2)^3はX^(2×3)だと思いますが、計算できてもそれが何をやってるのかよくわかりません・・・。数学は計算できることより意味が大事だと思うので考えてしまうのです。

たとえば(X^2)^3なら面積×面積×面積って何やってるんだろうとか。

この4乗以降の現実的な意味って何なのかご存知の方いらっしゃいませんか。

A 回答 (14件中1~10件)

ANo.2のコメントについてです。




> 0次元超立方体ってのもあって、x^0=1ってなるのでしょうか

 一辺の長さがXの2次元超立方体ってのは、一辺の長さがXの正方形のこと。
 一辺の長さがXの1次元超立方体ってのは、長さがXの線分のこと。
 しかし、「一辺の長さがXの0次元超立方体」って言いたくても0次元じゃ「一辺の長さ」がないからな。

 4以上の次元の超立方体やその体積は、図形や模型として見られるものではないけれども、たとえばガス中の分子や導体中の電子の平均的な振る舞いを計算する時など、統計力学には必須なんです。案外リアルの世界と繋がっている。

> (100万円×1.01)^年数

 いやそれなら「 100万円×(1.01)^年数」ですけど。でもま、分かってるんじゃん。
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この回答へのお礼

気さくな感じでご回答ありがとうございます。

Xの1次元超立方体ってのは、いわゆる立方体ではなくて「線分」の別の言い方なのですね。

0次元超立方体は点っぽい・・・。

統計力学では4次元以上の超立方体の体積の概念、あるいは計算が使われることがあるとのことで、私もそういうところまでいつか達せればいいなぁと思います。

ちなみに複利の計算、あとで自分のが間違っているのに気づきました(^_^;

お礼日時:2012/04/01 23:03

寸法の4乗が実用的に使われる例



物理というか,工学の話です。
電気で使うトランス(変圧器)の容量(扱える電力)は,寸法の4乗にほぼ比例します。
なぜかというと,トランスの電圧は鉄心の断面積に比例し,
トランスの電流は巻線の断面積に比例するからです。寸法の4乗というより,面積の2乗かもしれません。
ご参考まで。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

寸法ですから、実在する距離ですね。その、変圧器の距離を4乗すると、変圧器の扱える電力になるのですか。

寸法の4乗だから、言い換えれば面積の2乗。

電力というものが目に見えないから想像はできないですが、あるのですね、4乗の現象。

お礼日時:2012/04/06 16:24

 比(cmなどの単位が付いていない数)の冪乗についてはひとまず解決ですかね。

一方、単位が付いた数の冪乗を考えると「次元」の話になる。この話題にはしばしば珍説も混入するんで要注意ですが、ま、その注意を頭の片隅にでも入れた状態で、たとえば
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7143645.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/172788.html
などご参照さなってはどうでしょ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。リンクのページ参照しました!!

累乗は、単位がついてしまうと「次元」の話になるわけですね。自分はその辺でごちゃごちゃしていたんだなと思いました。

比は単位はつかないですからね。

お礼日時:2012/04/06 16:20

4次元の世界は時間という軸tを設ければ成り立ちます。




(X^2)^3は単なる計算で X^2 は面積と考えることが無理があると思います。

(X^2)^4や(X^2)^5だったらもっと解らなくなりますよね。

数学は、この世の世界を数値的に解明する手段であって、
   物理的な世界=数学的な世界
ということではありません。

すなわち
   物理的な世界≠数学的な世界
ということになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

物理的な世界と数学的な世界が同一のものではないとすると、私が考えてしまうのは現段階での人間では物理的な世界の観測に限界があるために数学が先をいっているために同一でなく見えるだけで、実存的立場というか神様から見た立場(究極の真理が見える立場)では同一なのではないかということです。

抽象的ですみません。

(X^2)^4や(X^2)^5でX^2を面積と考えると変になりますよね(汗)

お礼日時:2012/04/01 23:09

2年で区切って考えると


2年×3=6年 では、
(X・X)^3 = (X^2)^3 = X^6 倍
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

(x^2)^3のような指数法則の現実との接点は、

1年単位で預金の利率が設定されていることを前提として、それを2年単位ずつ計算した場合ということですね。

元本を100万円、年利を5パーセントとした複利で6年間預けるとすると

100×(1.05)^6  ←1年単位で考えた場合

100×(1.05^2)^3  ←2年単位で考えた場合

ということだと理解しました。かなり納得です。指数法則が現実問題とくっつきました!!

お礼日時:2012/03/30 23:38

5乗は5次元の立方体の体積です。


6乗は6次元の立方体の体積です。
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n乗はn次元の立方体の体積です。
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∞乗は∞次元の立方体の体積です。


  
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

それを聞きますと、やはり4乗以降は実態とは結びついていない架空の世界に行ってるんだな、と思いました。

数学は架空の世界で計算だけルールに従ってやらなきゃいけないんだとちょっとさみしくなります。

お礼日時:2012/03/30 23:30

4乗は4次元の立方体の体積です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

たぶん、前の方が教えてくださった4次元超立方体というものの体積ですよね。

座標がx,y,z軸とさらにz軸の直角方向にあるもうひとつの軸の4点にあるような。

お礼日時:2012/03/30 23:29

要素が4つの集合 {a,b,c,d} の部分集合を数え上げると ∅,{a},...,{a,b},...{a,b,c,d} の16個になります。

これは各要素について,その部分集合に 含まれる・含まれない という2択なので 2^4=16 と計算できます。一般には 2^要素の数 です。

はい,私も高校のころまで数学の式や計算をいつも物理的な実体に結び付けて理解しようとしていたので,その気持ちはよく分かります。特に物理には対応するものが多く,結びつけることで理解しやすいことも多いですからね。でもそういう結びつけがなくても数学を扱えないといけないということは後で分かりました。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

集合のお話、理解できました。部分集合を数えるときは、ある、なしの2択だから2について累乗していくのですね。

それから、やはり、数学を実態と結びつけるという点では物理と対応させたくなりますよね!! 私もそうなのです。

でも、mideさんはその後、結びつけがなくても数学を扱えないといけないと分かったとのこと。私はまだmideさんの高校のころくらいの数学的発達段階にいるのだなと思いました(^_^;

お礼日時:2012/03/30 23:25

この世は3次元の世界ですからそれ以上の世界は数学上の架空の世界になります。



1次元はX座標です
2次元はY座標が増えます
3次元はZ座標が増えます
上記をみると次元が増えると直角方向に座標が増えていきます

同様に
4次元はもう一つ座標が増えます。
Z座標と直角方向に増えます
頭の中の架空の世界です。



(2^2)^3=4^3=64

2^(2x3)=2^6=64
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

3次元以上の世界が架空、とは限らない気がしてしまうのです・・・。

4次元になるとZ座標と直角方向に軸が増えるというのはとても参考になりました^^

お礼日時:2012/03/30 23:18

1年で給料が X倍になるとすると


2年で  X・X=X^2 倍
3年で  X・X・X=X^3 倍
4年で  X・X・X・X=X^4 倍
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

指数は実社会の法則にもありそうですね。Xを長さと考えているから現実と結び付けられないのかもしれません。

(x^2)^3のような指数法則は現実にどういうところにあるんでしょうか。

お礼日時:2012/03/30 15:14

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