体積が2重積分で求められるのはなぜですか?

体積が2重積分で求められるのはなぜですか?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/11 20:36

「体積が2重積分」というのは、少し端折った考え方です。

3次元空間に、点(x,y,z) がある図形V に含まれるなら 1、含まれないなら 0
という値をとる関数 f(x,y,z) を定義します。この f を「V の定義関数」といいます。
V の体積 |V| とは、3重積分 |V| = ∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz のことです。

重積分は反復積分に置き換えられるので、|V| = ∫∫{∫ f(x,y,z) dz}dxdy と
一番内側の積分だけ先に計算してしまうと、|V| = ∫∫ F(x,y) dxdy,
F(x,y) = ∫ f(x,y,z) dz と書けます。 F(x,y) は x,y を固定した際の
V の z方向の長さ(いくつかの線分に分かれる場合は、その合計)であり、
∫∫ F(x,y) dxdy はそれの2重積分になっています。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/06/11 15:05

まず、面積は二次元の積分です。

更に3次元方向で積分すれば、それが体積、という事です。

面積は縦×横、体積は縦×横×高さ、
この要素が定数ではなく変数であるときに「積分」が用いられます。