おはようございます。
指数(?)についてなんだかもやもやしています。
Xが長さだとすれば、2乗は面積、3乗は体積、でも4乗は現実の何を指しているんだろう、と気になっています。
それから、指数法則とかで(X^2)^3はX^(2×3)だと思いますが、計算できてもそれが何をやってるのかよくわかりません・・・。数学は計算できることより意味が大事だと思うので考えてしまうのです。
たとえば(X^2)^3なら面積×面積×面積って何やってるんだろうとか。
この4乗以降の現実的な意味って何なのかご存知の方いらっしゃいませんか。
No.2
- 回答日時:
Xが長さだとすれば、X^nは一辺Xのn次元超立方体の体積です。
が、これじゃ腑に落ちないでしょうね。Xが長さではなく比であると思えば、3以上の指数もどうということはない。
タケノコが1本。
その倍の倍の倍の倍の倍といえば、1本×2×2×2×2×2 = 1本×(2^5)。
ありがとうございます。
n次元「超」立方体ですか。なんだかすごい名前ですね・・・。
じゃあ、0次元超立方体ってのもあって、x^0=1ってなるのでしょうか(汗)
0次元・・・。う~ん、ぴんときません。
それから、比ということで、なんだか銀行とかの利子計算の複利(?)みたいなのを思い出しました。
元本100万円で利率が年1パーセントなら、
(100万円×1.01)^年数
のような。
No.3
- 回答日時:
三次元空間の体積は長さの3乗ですが、4次元空間の体積は長さの4乗になります。
実は2次元空間(別名、平面)における体積(別名、面積)は長さの2乗で表現できます。
ありがとうございます。
4次元空間の体積、これはもしやNo.2さんのおっしゃる超立方体ですか。
どうもイメージを描けないのですが、4次元空間があったとしたら、x,y,z,a(?)のような4つの座標を紙の上に描いて立方体(変な形になるかもしれませんが)を描けるのかなぁと想像してしまいます(^_^;
描けたら面白いのですけど・・・。
X^4の立方体を「見たいです!!」
No.4
- 回答日時:
Xが1ビット,つまり2通りのものを表せるとすれば4ビットで表せるものの数は2^4=16,これは要素が4個の集合の部分集合の数でもあります。
十進数4桁なら10^4=10000通りの数が表せます。他には,年率8%で1年複利なら1.08^4=1.36048896とか。
指数はいろいろな用途がありますね。
ただ,数学の式や計算を現実の物理的な意味に結び付けなくても記号操作と結果だけで納得できるようになる精神力というか頭の柔軟さも必要だと思います。私はそれがうまくできなくて数学が大の苦手になってしまったことがあるので。
ありがとうございます。
面白いことをおっしゃっていますね。
Xが1ビットだとすれば、4ビットで2^4=16通りあるので、16個、アルファベットや記号を対応させられます。ただ、その先の「要素が4個の部分集合の数になる」ということがよくわかりません。面白いそうなので知りたいのですけど(汗)
複利の計算、他の回答者様へのお礼で書いたのですが私の式は間違ってました・・・。
それから、数学と現実とのつながりのことばかり私は興味を持っていましたが、記号操作と結果で納得する柔軟性もあったほうが世渡り上手というか、数学の世界も上手に渡れるかもしれません。
回答者様もどちらかというと現実の物理的な意味に結び付けたい方なのですか。そうだとすると、私の4乗を現実に対応づけられないもどかしい気持ちも伝わっているのでしょうね(^_^)
No.5
- 回答日時:
1年で給料が X倍になるとすると
2年で X・X=X^2 倍
3年で X・X・X=X^3 倍
4年で X・X・X・X=X^4 倍
ありがとうございます。
指数は実社会の法則にもありそうですね。Xを長さと考えているから現実と結び付けられないのかもしれません。
(x^2)^3のような指数法則は現実にどういうところにあるんでしょうか。
No.6
- 回答日時:
この世は3次元の世界ですからそれ以上の世界は数学上の架空の世界になります。
1次元はX座標です
2次元はY座標が増えます
3次元はZ座標が増えます
上記をみると次元が増えると直角方向に座標が増えていきます
同様に
4次元はもう一つ座標が増えます。
Z座標と直角方向に増えます
頭の中の架空の世界です。
(2^2)^3=4^3=64
2^(2x3)=2^6=64
ありがとうございます。
3次元以上の世界が架空、とは限らない気がしてしまうのです・・・。
4次元になるとZ座標と直角方向に軸が増えるというのはとても参考になりました^^
No.7
- 回答日時:
要素が4つの集合 {a,b,c,d} の部分集合を数え上げると ∅,{a},...,{a,b},...{a,b,c,d} の16個になります。
これは各要素について,その部分集合に 含まれる・含まれない という2択なので 2^4=16 と計算できます。一般には 2^要素の数 です。はい,私も高校のころまで数学の式や計算をいつも物理的な実体に結び付けて理解しようとしていたので,その気持ちはよく分かります。特に物理には対応するものが多く,結びつけることで理解しやすいことも多いですからね。でもそういう結びつけがなくても数学を扱えないといけないということは後で分かりました。
ありがとうございます。
集合のお話、理解できました。部分集合を数えるときは、ある、なしの2択だから2について累乗していくのですね。
それから、やはり、数学を実態と結びつけるという点では物理と対応させたくなりますよね!! 私もそうなのです。
でも、mideさんはその後、結びつけがなくても数学を扱えないといけないと分かったとのこと。私はまだmideさんの高校のころくらいの数学的発達段階にいるのだなと思いました(^_^;
No.10
- 回答日時:
2年で区切って考えると
2年×3=6年 では、
(X・X)^3 = (X^2)^3 = X^6 倍
ありがとうございます。
(x^2)^3のような指数法則の現実との接点は、
1年単位で預金の利率が設定されていることを前提として、それを2年単位ずつ計算した場合ということですね。
元本を100万円、年利を5パーセントとした複利で6年間預けるとすると
100×(1.05)^6 ←1年単位で考えた場合
100×(1.05^2)^3 ←2年単位で考えた場合
ということだと理解しました。かなり納得です。指数法則が現実問題とくっつきました!!
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