正八面体と球

写真の問題ですが、解説を見てもよくわからないところがあります。

V1/2=1/3*4*√2　の式がどこから出てきたか

r=がなぜ　1*cosθになるのか

簡略化されている　V2=4/3π*2√2/3√3　以降の計算の詳細

などです。
どなたか詳しく教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2014/04/18 17:06

＞V1/2=1/3*4*√2　の式がどこから出てきたか

「正八面体の体積の半分」です。つまり「四角すいの公式」です。

辺の長さ１の正八面体を、２つの四角すいが出来るように真っ二つに切ったら、その四角すいは「底面積が４、高さが√２」です。

なので、四角すい１つ分の体積は「（１／３）×４×√２」です。

この式は（V1/2は）「1/3*4*√2」です。

＞r=がなぜ　1*cosθになるのか

これの意味は「rは、図の直角三角形の底辺だから」って意味しかありません。

そして、ｒが底辺になっている直角三角形は、斜辺と高さが判っています。

三平方の定理「底辺の２乗＋高さの２乗＝斜辺の２乗」から「底辺は、√（斜辺の２乗－高さの２乗）ですよ、計算したら√（２／３）ですね」って言っているだけです。

そして、辺が２の正八面体の体積は「√２÷３×２の３乗」で、半径が√（２／３）の球の体積は「４÷３×π×（√（２／３））の３乗」です。

V1＝√２÷３×２の３乗
＝√２÷３×８

V2＝４÷３×π×（√（２／３））の３乗
＝４÷３×π×（２／３）×√（２／３）
＝４÷３×π×２÷３×√（２／３）
＝８÷９×π×√（２／３）

V2／V1＝（８÷９×π×√（２／３））／（√２÷３×８）
＝（π×√（２／３）×８÷９）／（√２÷３×８）
＝（π×√（２／３）÷９）／（√２÷３）
＝（π×√（２／３）÷３）／√２
＝（π×√２÷√３÷３）／√２
＝π÷√３÷３
＝π÷√３／３
＝π÷√３×√３／３√３
＝π÷√３×√３×√３／（３√３×√３）
＝π×√３／（３√３×√３）
＝π×√３／（３×３）
＝π×√３／９
＝√３／９π

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/04/18 16:39

画像の図中の文字（特に下付き添字）が小さく潰れて不鮮明なのでよく見えません。

確認を兼ねて、正八面体の体積をVo、内接球の半径をr、体積をV1とすると

>V1/2=1/3*4*√2　の式がどこから出てきたか

この式の左辺のV1はVoの間違いのようです。
正：Vo/2=(1/3)*4*√2 …(※)

左辺は、正八面体の体積Voの1/2ですね。
つまり　Vo/2 は正八面体の上半分の正四角錐の体積に等しいですね。

正四角錐の底面は正八面体の一辺の長さ(=2)に等しい辺の正方形になり
その底面の面積は 2×2 = 4 となります。正四角錐の高さは√2なので
正四角錐の体積Vo/2は

　Vo/2=(1/3)*(底面積)*(高さ)=(1/3)*4*√2

これは(※)の式に一致します。
お分かりになりましたか？

したがって、正八面体の体積Voは、
(※)の正四角錐の体積Vo/2の２倍になるので

　Vo=(8/3)√2　…　(＊)

となります。
（＊）の式の左辺のVの添字は「o」です。「1」ではないことに注意してください。

>r=がなぜ　1*cosθになるのか

問題の図の左下の三角形と半円の図で
相似形の直角三角形の辺の比１：√2：√3 と対応する頂角θ=δの関係から

　r/1=cosθ=cosδ=√2/√3

前半から

　r=1*cosθ=cosθ

お分かりになりました？

後半から

　cosθ=cosδ=√(2/3)

したがって

　r=√(2/3) …　(◆)

となります。

>簡略化されている　V2=4/3π*2√2/3√3　以降の計算の詳細
左辺のV2は内接球の体積V1ですから、Vの添字を1に置き換えます。

　V1=(4/3)πr^3　　　←　（◆）の r を代入
　　=(4/3)π*(√(2/3))^3
　　=(4/3)π*(2√2)/(3√3)

（＊）の式のVoを作るため計算の順序を変えて

　V1=(8/3)√2*π(1/(3√3))

(8/3)√2 をVoで置き換えると

　V1=Vo*π(１/(3√3))
　　 =Vo(√3/9)π

両辺をVoで割って

　∴V1/Vo=(√3/9)π　…(答)

図の(答)の左辺の式「V2/V1」は間違いで、正しい式は「V1/Vo」です。

Vの添字が良く見えないので、回答のようにV1とVoに
統一して、良く読みなおして見てください。
きっとお分かりになると思います。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/04/18 16:13

＞図はよく見えないので、取り敢えず解法を回答します。

正八面体の1辺の長さを1とすると、正八面体を2個の四角錐に分けたときの
四角錐の底面は1辺の長さが1の正方形で、四角錐の高さhは(√2/2)^2+h^2=1
からh=1/√2。よって正八面体の体積V1はV1=1*1*(1/√2)*(1/3)*2=√2/3
この四角錐を横からみると底辺が1で高さが1/√2の二等辺三角形に見え、
内接球は等辺に内接した半円に見える。従って内接球の半径rは、この
二等辺三角形の底辺の中点から等辺に下ろした垂線の長さとなり、r=1/√6
となるので、内接球の体積V2はV2=4π(1/√6)^3/3=2π/9√6
V2/V1=(2π/9√6)/(√2/3)=√3π/9

No.1 回答者： ybnormal 回答日時： 2014/04/18 13:56

小さすぎてよく見えないが...

図の左下にある小さいほうの直角三角形を見ればCosΘ=r/1であることはわかります。
V1/2は正八面体の上半分の正四角錐の体積。底面は一辺２の正方形で底面積は2x2=4。四角錐の高さは断面積の高さだから図に書かれている通り√2。四角すいの体積は1/3*高さ*底面積だから、V1/2は1/3*4*√2。