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写真の問題ですが、解説を見てもよくわからないところがあります。

V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか

r=がなぜ 1*cosθになるのか

簡略化されている V2=4/3π*2√2/3√3 以降の計算の詳細

などです。
どなたか詳しく教えてください。

「正八面体と球」の質問画像

A 回答 (4件)

>V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか



「正八面体の体積の半分」です。つまり「四角すいの公式」です。

辺の長さ1の正八面体を、2つの四角すいが出来るように真っ二つに切ったら、その四角すいは「底面積が4、高さが√2」です。

なので、四角すい1つ分の体積は「(1/3)×4×√2」です。

この式は(V1/2は)「1/3*4*√2」です。

>r=がなぜ 1*cosθになるのか

これの意味は「rは、図の直角三角形の底辺だから」って意味しかありません。

そして、rが底辺になっている直角三角形は、斜辺と高さが判っています。

三平方の定理「底辺の2乗+高さの2乗=斜辺の2乗」から「底辺は、√(斜辺の2乗-高さの2乗)ですよ、計算したら√(2/3)ですね」って言っているだけです。

そして、辺が2の正八面体の体積は「√2÷3×2の3乗」で、半径が√(2/3)の球の体積は「4÷3×π×(√(2/3))の3乗」です。

V1=√2÷3×2の3乗
=√2÷3×8

V2=4÷3×π×(√(2/3))の3乗
=4÷3×π×(2/3)×√(2/3)
=4÷3×π×2÷3×√(2/3)
=8÷9×π×√(2/3)

V2/V1=(8÷9×π×√(2/3))/(√2÷3×8)
=(π×√(2/3)×8÷9)/(√2÷3×8)
=(π×√(2/3)÷9)/(√2÷3)
=(π×√(2/3)÷3)/√2
=(π×√2÷√3÷3)/√2
=π÷√3÷3
=π÷√3/3
=π÷√3×√3/3√3
=π÷√3×√3×√3/(3√3×√3)
=π×√3/(3√3×√3)
=π×√3/(3×3)
=π×√3/9
=√3/9π
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画像の図中の文字(特に下付き添字)が小さく潰れて不鮮明なのでよく見えません。


確認を兼ねて、正八面体の体積をVo、内接球の半径をr、体積をV1とすると

>V1/2=1/3*4*√2 の式がどこから出てきたか

この式の左辺のV1はVoの間違いのようです。
正:Vo/2=(1/3)*4*√2 …(※)

左辺は、正八面体の体積Voの1/2ですね。
つまり Vo/2 は正八面体の上半分の正四角錐の体積に等しいですね。

正四角錐の底面は正八面体の一辺の長さ(=2)に等しい辺の正方形になり
その底面の面積は 2×2 = 4 となります。正四角錐の高さは√2なので
正四角錐の体積Vo/2は

 Vo/2=(1/3)*(底面積)*(高さ)=(1/3)*4*√2

これは(※)の式に一致します。
お分かりになりましたか?

したがって、正八面体の体積Voは、
(※)の正四角錐の体積Vo/2の2倍になるので

 Vo=(8/3)√2 … (*)

となります。
(*)の式の左辺のVの添字は「o」です。「1」ではないことに注意してください。

>r=がなぜ 1*cosθになるのか

問題の図の左下の三角形と半円の図で
相似形の直角三角形の辺の比1:√2:√3 と対応する頂角θ=δの関係から

 r/1=cosθ=cosδ=√2/√3

前半から

 r=1*cosθ=cosθ

お分かりになりました?

後半から

 cosθ=cosδ=√(2/3)

したがって

 r=√(2/3) … (◆)

となります。

>簡略化されている V2=4/3π*2√2/3√3 以降の計算の詳細
左辺のV2は内接球の体積V1ですから、Vの添字を1に置き換えます。

 V1=(4/3)πr^3   ← (◆)の r を代入
  =(4/3)π*(√(2/3))^3
  =(4/3)π*(2√2)/(3√3)

(*)の式のVoを作るため計算の順序を変えて

 V1=(8/3)√2*π(1/(3√3))

(8/3)√2 をVoで置き換えると

 V1=Vo*π(1/(3√3))
   =Vo(√3/9)π

両辺をVoで割って

 ∴V1/Vo=(√3/9)π …(答)

図の(答)の左辺の式「V2/V1」は間違いで、正しい式は「V1/Vo」です。

Vの添字が良く見えないので、回答のようにV1とVoに
統一して、良く読みなおして見てください。
きっとお分かりになると思います。
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>図はよく見えないので、取り敢えず解法を回答します。


正八面体の1辺の長さを1とすると、正八面体を2個の四角錐に分けたときの
四角錐の底面は1辺の長さが1の正方形で、四角錐の高さhは(√2/2)^2+h^2=1
からh=1/√2。よって正八面体の体積V1はV1=1*1*(1/√2)*(1/3)*2=√2/3
この四角錐を横からみると底辺が1で高さが1/√2の二等辺三角形に見え、
内接球は等辺に内接した半円に見える。従って内接球の半径rは、この
二等辺三角形の底辺の中点から等辺に下ろした垂線の長さとなり、r=1/√6
となるので、内接球の体積V2はV2=4π(1/√6)^3/3=2π/9√6
V2/V1=(2π/9√6)/(√2/3)=√3π/9
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小さすぎてよく見えないが...



図の左下にある小さいほうの直角三角形を見ればCosΘ=r/1であることはわかります。
V1/2は正八面体の上半分の正四角錐の体積。底面は一辺2の正方形で底面積は2x2=4。四角錐の高さは断面積の高さだから図に書かれている通り√2。四角すいの体積は1/3*高さ*底面積だから、V1/2は1/3*4*√2。
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