No.6
- 回答日時:
相加平均・相乗平均そのものでしょう
縦,横,高さをそれぞれa,b,c (すべて正)とおけば
(a+b+c)/3 >= (abc)^{1/3}
a+b+c=Lで一定だったら,体積V=abcだから
L/3 >= V^{1/3}
等号成立は a=b=c のとき
よって,
a=b=c のとき(すなわち立方体のとき)
体積は (L/3)^3 = a^3 で最大
#図形を四角形に限らず,
#「周囲の長さが一定で面積最大の図形は?」となると
#答えは円.いわゆる「等周問題」というやつで,
#数学的にはきわめて深遠な問題を内包しています.
#逆に「面積一定で周囲の長さが最大な図形は?」となると
#これまた深遠な問題になります.
No.5
- 回答日時:
縦、横、高さをa, b, cとします。
当然a>0, b>0, c>0です。合計をLとすればL=a+b+c...(1)
これより
c=L-a-b...(1)'
立体の体積は
V=abc...(2)
(2)に(1)'を使って
V=ab(L-a-b)=Lab-a^2b-ab^2...(3)
a, bの2変数の関数Vの極大極小の問題となります。
∂V/∂a=Lb-2ab-b^2...(4)
∂V/∂b=La-a^2-2ab...(5)
(4)=0, (5)=0より
L-2a-b=0...(4)'
L-a-2b=0...(5)'
となります。(4)'=(5)'より
2a+b=a+2b
すなわち
a=bとなります。その結果L=2a+b=3aでc=L-a-b=L-2a=aとなります。すなわち全て等しいときにVは最大となります。
直感的にはこれでよさそうですが、本当は二変数関数の停留点を求めただけで、最大か最小か鞍点か分かりません。(1変数の時もf'(x)=0だけなら同じ問題がありますね。)
∂^2V/∂a^2=Vaa=-2b=-2a...(6)
∂^2V/∂b^2=Vbb=-2a...(7)
∂^2V/∂b∂a=Vba=∂^2V/∂a∂b=Vab=L-2a-2b=-a...(8)
まず
Vaa<0...(9)
がわかります。
(Vab)^2-Vaa*Vbb=a^2-4a^2=-3a^2<0...(10)
ですので、(9)と(10)より上記で得た停留点は最大値です。
No.4
- 回答日時:
縦x, 横y, 高さzの総和 = L する。
x + y + z = L, また、体積 V = xyz
y = ax (a は任意の数) と置けば、z = L - (1+a)x
V = ax^2{L - (1+a)x}
V' = 0 より
x = 2L/{3(a+1)} のとき体積が最大となる。
このとき、z = L/3, y = 2aL/{3(a+1)} となる。
本来、x と y は入れ替えても同じはずだから a = 1。
あるいは、
V = xyz = 4L^3・a/(a+1)^2/27 を a で微分して
dV/da = 0 からも a = 1 が得られます。
No.3
- 回答日時:
>体積の場合には縦横の長さが等しいとする前提が正しいという前提を置かないと答えが出せないように思われるのですが・・・
そんなことはありません。
#2さんのアドバイスのように
縦、横、高さの和がa(>0)一定として
縦、横、高さをx(>0),y(>0),(a-x-y)(>0)とおいて
V=V(x,y)=xy(a-x-y)とおいて
a>0,x>0,y>0の元で
∂V/∂x=0,∂V/∂y=0
を連立にしてVを最大にする(x,y)を求めれば
(x,y)=(a/3,a/3)
が得られますね。
残りの辺も
a-x-y=a/3
となりますので縦横高さがa/3の立方体になることが分かるでしょう。
別解として
縦、横、高さをx,y,z(全て>0)とおいて
x+y+z=a(>0)が一定とおいて
V=xyz=xy(a-x-y)=V(x,y)とおいて
x>0,y>0,z>0,x+y+z=a>0の元で
∂V/∂x=0,∂V/∂y=0
つまり
y(a-y-2x)=y(z-x)=0,x(a-x-2y)=x(z-y)=0
およびx+y+z=a
を連立にしてVを最大にする(x,y,z)を求めれば
(x,y,z)=(a/3,a/3,a/3)
が得られますね。
このとき V=(a/3)^3
となります。
計算が正しいか、自分でフォローして確認してみてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
縦横高さを足した長さ=Lとします
まず一辺(例えば縦)を固定します(tとおきます)
すると横と高さの和はL-tとなります
直方体の体積は縦×横×高さですから、横×高さが最大になる時を考えて横=高さ=(L-t)/2の時になります
これで縦を固定した時の直方体の最大の体積がtの関数として出てきますから、それを今度はtを動かして最大にする所を見つければ解けます
ちなみに立方体というのは縦=横=高さのものですよ
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