球の体積を微分すると表面積になる 円も同じようになる これって何かしらの関係があるのですか？ まだ数

球の体積を微分すると表面積になる
円も同じようになる
これって何かしらの関係があるのですか？
まだ数2の微積分と3の置換積分、部分積分のやり方までしか触れてません

No.6 回答者： fxq11011 回答日時： 2019/05/29 17:18

円や球で考えるから・・・？。

直方体で考えれば体積＝底面積×高さ、高さについて微分すれば？、高さ０ではないが限りなく０に近づければ≒底面
１．９９・・・無限に続く場合、現実には２とみなしますね。
球や円でも同じ、半径について微分すれば・・・・・底面積（底辺）、球の表面積、円周の長さ。

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/05/28 13:55

イメージですが

　円（半径ｒ、円周ｌ、面積S）
　　十分大きなｎで円周を分割して、その分割した一つの弧の両端と円の中心を結んだ図形を考えます。
　　ｎが十分大きければその図形は底辺l/n、高さｒの三角形とみなせて、面積は1/2・ｌ/n・ｒ＝1/2・2πｒ/n・ｒ=(πｒ^2)/n
　　その総和が円となるので、S=lim(n→∞)Σ（½・l/n・ｒ）＝∫ｌdr＝∫(２πｒ)dr=πｒ^2

球（半径ｒ、表面積Ｓ、体積Ｖ）
　　十分大きなｎで球の表面を分割して、その分割した図形の一つと球の中心を結んだ立体図形を考えます。
　　ｎが十分大きければその立体図形は底面積S/n、高さｒの角錐（円錐）とみなせて、
体積は1/3・S/n・ｒ=1/3・(４πｒ^2)/n・ｒ=(4πｒ^3)/3n
　　その総和が球となるので、V=lim(n→∞)Σ（1/3・S/n・r）=∫Ｓdr=∫(4πｒ^2)=4/3・πｒ^3

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/28 08:12

∫[0~R](表面積)dr=体積

となることが理解できます?

そこまで積分の理解が進めば(体積素とかわかるようになれば)
簡単に理解出来ますよ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/05/27 18:15

> 何かしらの関係があるのですか？

大ありです。
半径rの球を「厚みΔrの薄皮がいっぱい重なってできた玉ねぎ」だと思えば、一番外側の皮の体積は「一番外側の皮の表面積」×厚み です。
半径rの円を「幅Δrのリングがいっぱい重なってできた同心円」だと思えば、一番外側のリングの面積は「一番外側のリングの周囲長」×幅 です。
で、Δr→0を考える。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/05/27 17:16

> 球の体積を微分すると表面積になる

逆に言えば、表面積を立体角度で積分すれば体積になる、という事です。

> 円も同じようになる
円周を、角度一周分を積分すれば面積になります。
半径×微小角度=円弧になるので、
更に半径を掛ければ、その部分の面積(の2倍)になり、
小手を一周分足し込めば、円の面積、という具合です。

No.1 回答者： hanzo2000 回答日時： 2019/05/27 17:01

思いっきり感覚的な回答ですが、

微分っていわば「次元を落とす」ということだから、
3次元は2次元になり（体積が表面積になり）、
2次元は1次元になり（面積が円周になり）、
1次元は0次元になります（曲線が点になる）。