質問です。立体角ωとその半頂角aとの間にω=2π(1-cosa)の関係があることを示しなさい。お願い

質問です。立体角ωとその半頂角aとの間にω=2π(1-cosa)の関係があることを示しなさい。お願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/16 13:07

「半頂角」というのがあまり聞きなれませんが、「円錐」を考えたときの「頂角の半分」つまり「底面に直角な中心軸から測った側面までの角度」ということのようですね。

↓　このサイトの図に示されているような「円錐面」の角度。
http://www.kzk-net.com/mt/mt-search.cgi?tag=%E5% …

原点の頂点がある円錐を考えて、その円錐の頂点のなす立体角を、その円錐が切り取る「単位半径の球の表面積」として定義します。
（平面で、扇形の中心角を、その扇形が切り取る「単位半径の円の円周の長さ」として定義する「ラジアン」と同じ考え方です）

球の半径をR、円錐の「半頂角」θ～θ+dθ が球表面に作る「円環」の面積が
　dS = 2パイR*sinθ *Rdθ = 2パイR^2 *sinθ *dθ
なので、その円錐全体が切り取る「球の表面積の一部」の面積 S(R) は、この θ を 0～a で積分して
　S(R) = ∫[0→a]2パイR^2 *sinθ *dθ = 2パイR^2 *[- cosθ ][0→a] = 2パイR^2 (1 - cos(a) )

単位球なら、R=1 で
　S(1) = 2パイ (1 - cos(a) )

これをもって、この円錐の頂点のなす立体角 ω と定義するので
　 ω = S(1) = 2パイ (1 - cos(a) )

まあ、球の表面積を求める「積分の練習問題」です。

これからすると、a=パイ/2 のときが「全立体角」の半分になるので、空間全体の全立体角は
　2 * 2パイ(1 - cos(パイ/2)) = 4パイ
ということになります。単位球の全表面積だからあたりまえか。