ε-δ論法について

f(x)=cosxが区間I=[0,∞)で一様連続であることを示す問題です。私は以下のように示したのですが、正しく議論できていますでしょうか？ダメな場合どこがおかしいかを教えていただきたいです。∀y∈Rに対して|siny|≦|y|はこの前の問題（例題）でも使っていたので認めています。

∀x,a∈Iに対してδ=2ε/(|x+a|)とする。
x,a≠0のとき
|x-a|＜δ⇒|cosx-cosa|=2|sin((x+a)/2)sin((x-a)/2)|≦2|(x+a)/2||(x-a)/2|=|x+a||x-a|/2＜ε

x,a=0の時は
|cosx-cosa|=0＜ε（∵ε＞0）

よってf(x)=cosxは区間Iで一様連続

よろしくお願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/21 18:49

一様連続がどういう意味なのかお分かりでないらしい。

また場合分けについて
> x,a≠0のとき
> x,a=0の時
だけ検討したって不足で、x=0,a≠0の場合とx≠0,a=0の場合が抜けてますね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/21 16:46

ダメ

δはx,aに関係無い値でなければなりません
δ=2ε/(|x+a|)ではダメです

fが
一様連続とは
任意の
ε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のx,aに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
とき
fは一様連続といいます
δはx,aに関係無い値でなければなりません

任意の
ε>0
に対して
δ=ε
とする
|x-a|<δ
となる任意のx,aに対して
|f(x)-f(a)|
=|cosx-cosa|
=2|sin((x+a)/2)||sin(x-a)/2|
↓|sin(x+a)/2|≦1 だから
≦2|sin(x-a)/2|
≦2|(x-a)/2|
=|x-a|
<δ
=ε

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/21 16:40

一様連続性を示す時は、εにたいしてきめるδは

εだけで決まるものでなければいけない。
だからその証明はおかしい。
正しくは
|cosx-cosa|=2|sin((x+a)/2)sin((x-a)/2)|≦|x-a|だから
ε＞0にたいしてδをδ＝εとすれば
|x-a|＜δのとき|cosx-cosa|＜ε
というふうにしてください。