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こんにちは。
現在理工学部の一年生のものです。
物理や数学に興味があり、専門書を読みあさっているのですか、
「微小量」
というものがいまいちつかめません。


つまり
無視できないときと、無視できるときの違いは何なのでしょうか?
Δ○→d○になるときとならない時の違いは?
定義は何なのでしょうか?
微小量について体系的に学ぶためにはどうすれば、またどのような参考書がよろしいでしょうか。

具体的な問題を出したほうがよろしいのかと思いますが、あまりにもさまざまな本であらわれてくるのでまとめて質問いたしました。

どなたかよろしくお願いいたします。

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A 回答 (6件)

こんにちは。

理系の大2です。

>定義は何なのでしょうか?
 限りなく0に近い値がd○、ある程度小さいがただ小さいだけで、限りなく小さいということはない場合Δ○と書き、Δ○は具体的な値として存在する。大小関係ではΔ○>d○>0となる。d○と0の大小関係が「≧」でないことに注意。
例 (Δt→+0) 1/Δt=∞ だが、1/0 は考えない。

>無視できないときと、無視できるときの違いは何なのでしょうか?
>Δ○→d○になるときとならない時の違いは?
 上に書いた事からΔ○を限りなく0に近づけるときΔ○→d○→0と移り行くと考えて間違いではない。ただしあくまでd○≠0。
 Δ○を限りなく0に近づけるとき、それはもはやΔ○ではなく極限値d○であり、計算結果に支障をきたさないとき0と書き、d○=0のように扱う。したがってひとまずd○と書くことができる。
 次にd○がどのようなところに書かれているかに注目するとd○と書くべきか、0と書くべきかが判断できる。ここの判断については回答#1がかなりわかりやすいと思うのでそちらに譲る。また判断できないときはそのままd○と書いておく事も間違いではない。ただし同じ変数は同じ時に0にしないと計算結果が異なることがある。
 つまり、質問の答えは無視できるときは0と書くことが可能な時、d○と書くときは0と書くことができないときである。
(核心は他人任せですいません。)

>微小量について体系的に学ぶためにはどうすれば、またどのような参考書がよろしいでしょうか。
 おそらく数学数学した本では大抵の場合、説明するだけ説明し、当然の様に使用されると思います(多分)。案外噛み砕いたような表現の本がいいかもしれない。
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この回答へのお礼

お礼の言葉が遅くなってしまい申し訳ありません。
この場をお借りして皆様にお礼申し上げたいと思います。

自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
誠にありがとうございます。
今後、皆様からのご回答をもとにさらに学問にはげみたいと思っております。

お世話になりました。

お礼日時:2008/09/08 15:39

x→+0の極限について考えてみます。


微小量というのはxの関数になるわけですが、まず「関数のオーダー」について説明します。
lim[x→0]f(x)/g(x)=0 のとき、f(x)=o(g(x)) と表し、f(x) は g(x) より高次の無限小であるといいます。
また、0<x<ε で f(x)/g(x) が有界である(無限大ではない)とき、f(x)=O(g(x)) と表し、f(x) は g(x) によって抑えられる、または単に、f(x) は g(x) のオーダーであるといいます。
f(x) = f1(x) + f2(x) としたとき、
f2(x) = o(f1(x)) の場合、f2(x) は微小量(高次の無限小)であり、f(x) の極限値を求めるときに無視することができます。
ここで一つ注意が必要なのは、f2(x)が有限値、あるいは無限大であったとしても、f1(x)がより高次の無限大であったら、f2(x)は微小量であるという点です。
また、f(x)が微分可能ならば、
f(x) = f(0) + f^1(0)x^1/1 + … + f^n(0)x^n/n! + o(x^n)またはO(x^(n+1))
となり、最後の項がx^(n+1)のオーダーの微小量です。
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この回答へのお礼

お礼の言葉が遅くなってしまい申し訳ありません。
この場をお借りして皆様にお礼申し上げたいと思います。

自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
誠にありがとうございます。
今後、皆様からのご回答をもとにさらに学問にはげみたいと思っております。

お世話になりました。

お礼日時:2008/09/08 15:37

微少量という取り扱いは


微分量の関係を知りたい時にやる操作だと思います。
微分量の関係から得られた微分方程式が解ければ関数形がわかりますが解けるとは限りません。
力学の運動方程式でも熱力学、流体力学でも同じような操作をやっていると思います。
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この場をお借りして皆様にお礼申し上げたいと思います。

自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
誠にありがとうございます。
今後、皆様からのご回答をもとにさらに学問にはげみたいと思っております。

お世話になりました。

お礼日時:2008/09/08 15:39

よく物理などで現れる(数学でも現れますが)無視できる量というのは状況に応じて変わってくると思います。

よくあるのは2次以上の項は無視出来るとかですね。微小変化が問題になってる場合はおそらく大抵の場合テイラー展開が根本にあるはずです。要するに何らかの微分を考えてると思われます。たとえばある量x,y(x)についてΔxの変化でy(x)がg(x)Δx+h(x)(Δx)^2だけ変化することが分かったとしましょう。これはy(x+Δx)-y(x)=gΔx+h(Δx)^2を意味していますが両辺を比べるときに実は「概ね」(Δx)^2の項は無視してもよいのです。というのは両辺をΔxで割ったときにhの項にはまだΔxが残りますね?したがってΔx→0とすれば消えてしまうからです。一方左辺はy'(x)、右辺はgですからy'=gが得られるわけです。このように「目的に合ったある式変形の後」、変化→0という極限操作において消えてしまう項は一般に「無視できる」と言われるのだと思います。

テイラー展開など十分に理解して自分なりに数学的に論理の穴を埋めていけば慣れていくと思います。
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この回答へのお礼

お礼の言葉が遅くなってしまい申し訳ありません。
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自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
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お礼日時:2008/09/08 15:39

何系なのか・・分からなくなってきて困っている、普通のおじさんです。


基本的なことは、古い本ですが、高木貞治の「解析概論」の最初の方に、「数の連続性」という項目があり、ここで詳細に議論しています。

最終的には、微少量とは、関数の連続性との兼ね合いになります。特に、その本の41ページの付記に、丁度・・質問されている微少数もしくは無限小という項目があり、詳細に解説が出ています。

つまり、独立変数のある一定の変動に伴って、「0に収束する変数」を微小数もしくは無限小という・・。なお、括弧書きは、著者がアンダーラインで強調している箇所。

関数を考えてみれば分かると思うのですが、各パラメータは独立変数として扱って良いわけですから、そのときに「その変数が収束する条件として、Δtやdxなどとして表すわけです」。

後は、もう少し突っ込んだ説明が必要だとしたら、解析学の教科書あたりをお勧めしましょう。
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この回答へのお礼

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自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
誠にありがとうございます。
今後、皆様からのご回答をもとにさらに学問にはげみたいと思っております。

お世話になりました。

お礼日時:2008/09/08 15:38

こんばんは。

理系のおっさんです。

私のこれまでの経験からですが、
t+Δt
とは書くけれども
t+dt
とは書かない。

なぜならば、dtは、ほぼゼロだから、
t+dt = t
のようになってしまうし、
∫(t+dt)
とも書けない。

ただし、
v = dx/dt
と書けるし、
v - dx/dt
とも書ける。
それは、dx/dt は、ある程度の大きさを持っていて、
やはりある程度の大きさを持つvと対等に勝負できるから。

そして、
(私が大学時代に習ったことですが)
dx と (dx)^2 は、対等に扱うことはできない。
dx + (dx)^2 = dx + 0 = dx
なぜならば、dxは微小であるから、微小の2乗である(dx)^2 は、ゼロと見なせる。


定義自体は知りませんが、上記のような理解で今まで困ったことはありません。

ご参考に。
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この回答へのお礼

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この場をお借りして皆様にお礼申し上げたいと思います。

自分は現在微小量について直観を排した厳密な定義から理解を構築したいと考えておりまして、その全段階として皆様のご回答は非常に参考になりました。
誠にありがとうございます。
今後、皆様からのご回答をもとにさらに学問にはげみたいと思っております。

お世話になりました。

お礼日時:2008/09/08 15:38

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Qdx^2を無視するのはなぜ?

微小量dxについてなんですが、何故
dx^2
無視できるのでしょうか?
∫dx^2=0
だから何だと思いますが、∫dx^2=0の理由が分かりません。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 ご承知でしょうけれども、式の上でとにかくdx^2が出てきたら機械的に消すというのでは駄目で、dxの多項式の形に整理した上でdxの2次以上の項を捨てる訳です。
 で、「dxの多項式の形」というのは、微小量dxに関するテイラー級数
  f(x+dx) = f(x)+ f'(x)dx + (f''(x)/2!)(dx^2) + (f'''(x)/3!)(dx^3)…
のことです。右辺がxの近くで収束するのなら、
  (f(x+dx)-f(x))/dx = f'(x) + (f''(x)/2!)dx + (f'''(x)/3!)(dx^2)…
はdx→0で両辺ともf'(x)になる、という話。

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q微小値の微分

数学の微分に関する質問です。

微小な値を微分すると、その結果もまた微小値となるのでしょうか?

例えば、時間tの関数θ(t)という関数があるとして、
θ(t)を微小値とするとき(|θ(t)|<<1)、θ(t)を微分したd{θ(t)}/dtもまた微小値と言えるのでしょうか?

僕は微小値(この場合θ(t))は微小であり続けるため、あまり大きく変化することはできない、つまり微小な値を微分すると、その結果もまた微小値になると思っています。

この問題はどのように考えればよいのでしょうか?
どなたかご教示願います

Aベストアンサー

>1/N^2<tのときも
>θ(t) = Nt
>の場合を考えると(勝手に考えてみました)、最終的にはθ(t)は微小な値ではなくなってしまうと思います。

#3で定義したθ(t)は1/N^2<tのとき、あくまでθ(t)=1/Nです。
これはθ(t)が常に|θ(t)|≦1/Nを満たすようにあえて付け加えた条件です。

1/N^2<tのときθ(t)=Ntという関数は#3で定義したものとは別物です。
t→∞で発散するような関数を選べばθ(t)が微小で無くなってしまうのは当然でしょう。


別の例を挙げましょう。
  θ(t) = arctan(a*x)/N
を考えてみてください。
a,Nは、a>0、N>0なる定数です。

θ(t)は、全てのtについて
  |θ(t)| < π/(2N)
を満たします。
Nを充分に大きくとれば、θ(t)は常に微小値になります。

一方、dθ/dtは
  dθ/dt = (a/N)*(1/(1+(at)^2))
で、t=0のとき最大値をとり、そのときdθ/dt=a/Nです。
先ほどNを充分に大きくとると書きましたが、aの値を更に大きくとれば、t=0におけるdθ/dtはいくらでも大きくなります。
(例えばa=N^2とすれば、t=0のときdθ/dt=N)

今回の例ではaの値をどのようにとってもθ(t)が発散することはありません。


もう少し条件を明確にした方が解答しやすいと思いますよ。
θ(t)が満たすべき条件は何ですか?dθ/dtが満たすべき条件は何ですか?
それを踏まえてdθ/dtのどんな性質を示したいですか?
出来れば数式で書く方が良いと思います。

>1/N^2<tのときも
>θ(t) = Nt
>の場合を考えると(勝手に考えてみました)、最終的にはθ(t)は微小な値ではなくなってしまうと思います。

#3で定義したθ(t)は1/N^2<tのとき、あくまでθ(t)=1/Nです。
これはθ(t)が常に|θ(t)|≦1/Nを満たすようにあえて付け加えた条件です。

1/N^2<tのときθ(t)=Ntという関数は#3で定義したものとは別物です。
t→∞で発散するような関数を選べばθ(t)が微小で無くなってしまうのは当然でしょう。


別の例を挙げましょう。
  θ(t) = arctan(a*x)/N
を考えてみてく...続きを読む

Qコイルの中の鉄心て.....

昨日、中学生の教科書を読んでいて疑問に思ったことがありました。
何で、コイルの中に鉄心を入れると磁界が強くなるのですか。
教えてください。

Aベストアンサー

その辺を勉強してる学生です。

コイルをぐるぐる巻いた中心に鉄心を入れたものと入れてないものを比べてみましょう。

まず、鉄心無しのものは、コイルの中心は空気ですね。
対して、鉄心が有るときは鉄心がコイルの中心にあります。

違いはここです。
磁界を考えるとき、透磁率という値が影響してきます。
空気と鉄心では透磁率がちがってきて、その違いが磁力に差を生じさせます。

磁界の強さは、磁力線の数で考えられます。
鉄心はコイルに流れる電流により発生した磁力線を集めるように働きます。
そのため磁力線の密度が増し、磁力が強くなるわけです。

鉄心に限らず、透磁率が空気より高いものであれば磁力を強めることができます。
ただ、コイルの中の磁界はどこでも同じなので、中心の方が磁力が強いということはありません。

Q地球の反対側までトンネルを掘って、リンゴを落としたらどうなりますか?

子供と賭けをしたので、どうか教えて下さい。
地球の内部は高温なので実際にできることではありませんが、もし、地球の裏側まで貫通するトンネルを掘って、リンゴを落とした場合、そのリンゴはどうなるのでしょうか。地球の中心でつりあってふわふわ浮くはず、というのと、浮くはずはない(止まらない)という考えです。
二人とも科学知識はさっぱりなので、できたら小学生に教えるつもりでご説明いただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 小学生向けの説明ではありませんが・・・。

A)一番単純なモデル
 以下のような仮定が成立するものとします。

 1)地球は自転していないとする。
 2)地球はどこでも密度が同じだとする。
 3)地球は完全な真球だとする。
 4)トンネル内は完全な真空だとする
 5)トンネルは正確に地球の重心(この条件では中心)を通って真っ直ぐとする。
 6)リンゴはトンネルに沿って、即ち重力方向垂直下方に真っ直ぐ落とすものとする。

 この仮定のもとでは、まず落としたリンゴはトンネルに沿って落ちて行きます。その加速度はだんだん小さくなります。と言うのも、落ちていったリンゴより上の球殻の部分の重力は働かなくなり、落ちるにつれて重力の強さが小さくなっていくからです。それでも加速度は地球中心に方向に向かってあるので、リンゴの速度は増していきます。
 地球中心までリンゴが到達したとき、そこは完全な無重力状態(無重量状態)ですが、既にリンゴは地球の裏側へ向かう速度を持っているので、通過して行きます。つまり地球中心から見れば、上昇していきます。
 中心点通過後、つまり上昇中は、重力は地球中心に向かっているので、加速度はリンゴの速度の方向と正反対になり、リンゴは速度を減じていきます。このとき、上で説明した理由と全く同じ理由で、上昇すればするほど重力が強くなり、減速はだんだん急になっていきます。
 地球裏側まで到達し、そこでいったんリンゴの速度は0になります。続いて、上で説明したのと全く同じ過程を経ながら、リンゴを落とした元の地点へと向かい、元の地点で再び速度が0になり、また落ちて行きます。
 結局リンゴは以上で説明した運動を、ずっと繰り返します。

B)空気抵抗がある場合
 A)から「4)トンネル内は完全な真空だとする」という条件だけを取り去り、トンネル内にも空気があるとします。空気の密度は地球の中心に近いほど大きくなる、すなわち、圧力が大きくなりますが、リンゴを押しつぶすほどではないと仮定します。
 すると、最初に落として落下していくリンゴは、空気抵抗の分だけ加速度が鈍り、地球中心を通過はするものの、A)の場合より速度は小さくなります。上昇中も空気抵抗のため、速度の減じ方はA)より急になります。速度が充分でないため、地球の裏側表面まで到達することができず、裏側表面より低い位置でいったん速度0になり、元の位置に向かって落ちて行きます。元の位置に向かって行くときも、空気抵抗がかかるので、上の説明と同様の過程を経て、更に低い位置で速度0になり、反転して落ちて行きます。
 こうして、リンゴは行きつ戻りつするものの、だんだん行きつ戻りつの距離が小さくなっていき、最終的には地球中心で静止します。

C)地球に自転がある場合
 A)から「1)地球は自転していないとする。」という仮定だけを取り去り、約24時間で一回転するとします。真空という仮定はあるものとします。
 落とす位置と裏側が、それぞれ北極・南極(逆でも可)であれば、A)と同じです。

 もし、赤道上にトンネルの出入り口があるとすれば、真っ直ぐに落ちていかず、落ちていくに従って出入り口を結ぶ直線軌道からずれていきます(この、リンゴの軌道を変える力を「コリオリの力」といいます)。これは、自転により、地球表面では半径法と垂直=円周方向に速度を持つから、と考えても大体はOKです。
 当然、落下途中でリンゴはトンネル壁面と衝突します。その衝突時、もしトンネル壁面とリンゴの間に摩擦がないとすれば、リンゴはトンネル壁面にぽこぽこぶつかりながら、反対側まで到達します。このとき、もし出口が低いと、リンゴはトンネルと垂直方向に飛び出すことになります(ある条件が成立すれば、飛び出さずに戻って行きますが、省略します)。
 摩擦があるとすれば、B)の空気抵抗がある場合と同様に減速してしまい、ぽこぽこぶつかって行きつ戻りつしながら、最終的には、地球の中心でトンネルの壁面にぽこぽこぶつかり続けるか、ぶつかる速度も減じていって静止するかします。

 赤道でなく、中緯度地帯にトンネルの出入り口を作ると、さらにややこしくなります。
 赤道上の場合の説明では遠心力に言及しなかったのですが、これは赤道上なら遠心力は重力に対して垂直上向きに働くので、説明に含めずともよかったからです。
 遠心力は、地球の回転軸に対して垂直に働きます。中緯度地方で立っている人の立場でいうと、赤道方向斜め上向きに働きます。この「斜め向き」の遠心力のため、リンゴの動きは更に複雑になります(説明は省略します)。

 最初のA)の説明が一番単純で、実際の地球に応じてA)での仮定を変えていくに従って、どんどんややこしくなります。あまりにややこしくなるので、大学教養課程の物理でもA)までしかやらないのが普通なくらいです。
 お子さんの年齢がわかりませんが、とにかく物理を習っていないとすれば、幾人かの方々が参考URLで示してくださっているWebページの説明を理解するに留めておくのがよいかと思います(最も重要な要素だけを取り出した場合に限定した、最もシンプルな説明ですから)。私もそのURLを参考URLに再掲させていただきます。

参考URL:http://aquarius.dsn.co.jp/kodomo110/nazenani/kotae/chikyuno.html

 小学生向けの説明ではありませんが・・・。

A)一番単純なモデル
 以下のような仮定が成立するものとします。

 1)地球は自転していないとする。
 2)地球はどこでも密度が同じだとする。
 3)地球は完全な真球だとする。
 4)トンネル内は完全な真空だとする
 5)トンネルは正確に地球の重心(この条件では中心)を通って真っ直ぐとする。
 6)リンゴはトンネルに沿って、即ち重力方向垂直下方に真っ直ぐ落とすものとする。

 この仮定のもとでは、まず落としたリンゴはトンネル...続きを読む

Q「づつ」?「ずつ」?

今、ワードを使っていて壁にぶつかりました。
恥ずかしながら「~を一つずつ(づつ)あたえる」と入力したいのですが「づつ」と「ずつ」どちらが正解なのでしょうか?
あと「わかる」と言う漢字も、「分かる」「解る」「判る」と色々あってどちらを使って良い物か分からない場合が多いです・・・・社会人としてお恥ずかしい

Aベストアンサー

(1) 「ず」と「づ」は歴史的には発音が違っていましたが、現代では発音上の区別がありません。したがって、『現代仮名遣い』(昭和61年7月1日 内閣告示第1号)では、いくつかの例外を除いて、「づ」を用いないように定めています。ご質問のお答えは、「ずつ」が正解です。

(2) 「分かる」「解る」「判る」は、それぞれ意味が少し違います。
【解る】理解する。ことの筋道がはっきりする。
【判る】判明する。明らかになる。
【分かる】上二つの意味を併せたいい方。
『常用漢字音訓表』(昭和56年10月1日内閣告示)に、「分かる」はあるのですが、「解る」と「判る」は載っていません。「解」も「判」も常用漢字表には含まれていますが、「わかる」という読み方が載っていないのです。新聞やテレビなどのマスコミが「分かる」を優先的に使う理由はそこにあります。
質問者さんが公務員で、公文書を作成されるなら、「分かる」に統一する必要があります。民間の文書や私信なら、「分かる」「解る」「判る」を使い分けて、日本語の奥ゆかしさを味わいたいものです。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Q回転運動のエネルギー

大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。
回転運動のエネルギーを求める公式とその証明を教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

回転運動のエネルギーの証明ということですが
回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+Δr)ωです。
それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、
それが結局回転のエネルギーということになります。
U=Σ1/2Δmv^2=Σ1/2Δm(rω)^2=1/2(ΣΔmr^2)ω^2

ここで、ΣΔmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量Δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。I=ΣΔm(r)r^2よって
U=1/2(ΣΔmr^2)ω^2=1/2Iω^2となります。

回転運動のエネルギーの証明ということですが
回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分な...続きを読む


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