A 回答 (5件)
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No.1
- 回答日時:
f(x)=(x-1)⁻²
f'(x)=(-2)(x-1)⁻³
f''(x)=(-2)(-3)(x-1)⁻⁴
・・・
f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ(n+1)!(x-1)⁻⁽ⁿ⁺²⁾
f⁽¹⁰⁰⁾(0)=(-1)¹⁰⁰(101!)(-1)⁻⁽¹⁰²⁾=101!
したがって f(x)にxをかけて、係数は
101!
No.2
- 回答日時:
やりかたは複数あるけど例えば
マクローリン展開における x^n の係数を a(n) とおき, 分母を払って得られる漸化式を解く
なんてこともできる.
あるいは
1/(1-x) を x で微分して x を乗じる
とか
え? 1/(1-x)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + (以下略) は常識でしょ?
とか.
No.3
- 回答日時:
等比級数
Σ{n=0〜∞} (x^n) = 1/(1-x)
を思い出すんです。両辺をxで微分して (n=0の項は定数であることに注意)
Σ{n=1〜∞} n(x^(n-1)) = 1/(1-x)^2
なので
x/(1-x)^2 = Σ{n=1〜∞} n(x^n)
No.4
- 回答日時:
なんで No.3 のやり方でいいかっていうと、
「冪級数展開の一意性」という定理があってね。
f(x) が何らかの方法で x=0 中心の冪級数展開で表せたら、
マクローリン展開もその級数と同じであることが
あらかじめ判っているわけ。
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