微分可能ならば連続の証明についてです lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果 lim(x→a

Question

微分可能ならば連続の証明についてです

lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果
lim(x→a)f(x)-f(a)=0となり
lim(x→a)f(x)　　=f(a)で連続になる条件を満たすことは理解しました

これがなぜ微分可能ならば連続の証明になるのでしょうか?

始めに設定されているlim(x→a)f(x)-f(a)の意味が分からないのですが、これが微分可能な関数を表し、計算すると連続の条件を満たす式に変形できるから、
微分可能な関数が連続になると言えるという事ですか？

示したいのがlim(x→a)f(x)=f(a)だからそれを変形させたlim(x→a)f(x)-f(a)から計算を始める、という説明を目にしたのですがよくわかりません

証明の式の意味を教えてください

mtrajcp · Accepted Answer

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)

のだからは両辺にlim(x→a)(x-a)をかけたのではなく

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
は
xをaに近づけると{f(x)-f(a)}/(x-a)は　f'(a)に近づく

のだから

{f(x)-f(a)}/(x-a)に(x-a)をかけたものは

f'(a)に(x-a)をかけたもの(が近づく所)に近づくのです

mtrajcp · Answer

lim(x→a)x-a=0
だから
両辺にlim(x→a)x-aをかけるのは
両辺に0をかけることになるのです
両辺に0をかけたら
0=0
になるだけです

mtrajcp · Answer

x≠aの時g(x)={f(x)-f(a)}/(x-a)

x=aの時g(a)=f'(a)
と
関数g(x)を定義すると
g(x)はx≠aで連続
lim(x→a)g(x)=lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)=g(a)
だから
g(x)はx=aで連続だから
g(x)は連続

h(x)=x-a
と
関数h(x)を定義すると
h(x)は連続

lim(x→a)g(x)=g(a)
lim(x→a)h(x)=h(a)

連続関数g(x)と連続関数h(x)の積h(x)g(x)は連続だから

lim(x→a)h(x)g(x)=h(a)g(a)

x≠aの時h(x)g(x)=(x-a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f(x)-f(a)
x=aの時h(a)g(a)=(a-a)f'(a)=0
だから

lim(x→a)f(x)-f(a)=0

--------------------------------------------
連続関数g(x)と連続関数h(x)の積g(x)h(x)は連続の証明

任意のε>0に対して
ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|g(x)-g(a)|<ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)<1
|h(x)-h(a)|<ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)<1
だから
|g(x)|<1+|g(a)|
|h(x)|<1+|h(a)|
だから

|g(x)h(x)-g(a)h(a)|
=|g(x)h(x)-g(a)h(x)+g(a)h(x)-g(a)h(a)|
≦|g(x)-g(a)||h(x)|+|g(a)||h(x)-h(a)|
<(1+|h(a)|+|g(a)|)ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)
<ε

だから
lim_{x→a}g(x)h(x)=g(a)h(a)

mtrajcp · Answer

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する

ということではありません
||の中身は0になりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0となりません
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0となりません

例)

f(x)=x^2
f(1)=1

f'(x)=2x
f'(1)=2

任意のε>0に対して
δ=ε
とすると
0<|x-1|<δ
となる任意のxに対して
|{f(x)-f(1)}/(x-1)-f'(1)|=|(x^2-1)/(x-1)-2|=|x+1-2|=|x-1|<δ=ε

だから
|{f(x)-f(1)}/(x-1)-f'(1)|=|x-1|≠0

mtrajcp · Answer

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する
ということではありません
||の中身は0になりません

δ=δ1=min(δ、1)の時(δ=<1とする時)
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなりません
|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません
lim(x→a)}f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0となりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0となりません
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0となりません

mtrajcp · Answer

①

～任意のε>0に対してεあるδが存在～というのはf(δ)=εとなるようなε、δが存在するという意味ではありません

～任意のε>0に対して、あるδが存在～
というのは

任意のε>0に対して

[|x-a|<δ→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]

となるような
δが存在する
という意味です

②
δについて、lx-al<δ、min(δ、1)とするとき
l{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)l<εとなる
のではなく

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
の極限の定義から
任意のε>0に対して
[|x-a|<δ→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]
となるような
δが存在する
のです

δ1=min(δ,1)
とすると
|x-a|<δ1≦δ
だから
[|x-a|<δ1→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]
となるのです

③
min(A,1)

A<1の時min(A,1)=A
A=1の時min(A,1)=A=1
A>1の時min(A,1)=1
となります

④
～l{f(x)-f(a)}/x-a-f'(a)l=<ε
だから

任意のε>0に対して
あるδが存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|<ε
となる時
lim(x→a){f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0
と
定義するという極限の定義から

lim(x→a){f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0
となる
のです

⑤
lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0が
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
と0になるのは
lim(x→a)(x-a)f'(a)
=(a-a)f'(a)
=0×f'(a)
=0だからです
はその通りです

mtrajcp · Answer

訂正です
f(x)がx=aで微分可能ならば
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
極限の定義から

任意のε>0に対して
あるδが存在して
0<|x-a|<δとなる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε　となる

δ1=min(δ,1)
とすると

0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε　となる

↓両辺に|x-a|をかけると

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|

↓|x-a|<δ1≦1だから

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|≦ε

だから
lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)
で
連続

mtrajcp · Answer

f(x)がx=aで微分可能ならば

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
極限の定義から

任意のε>0に対して
あるδが存在して
0<|x-a|<δとなる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε　となる

だから

ε/δ>0に対して
あるδ1<δが存在して

0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε/δ　となる

↓両辺に|x-a|をかけると

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|/δ

↓|x-a|<δ1<δだから

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|/δ<εδ/δ=ε

だから
lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)
で
連続

funoe · Answer

ｆがａで微分可能としたとき、
lim(x→a)（f(x)-f(a)）/（x-a）　がある値に収束する。

このとき（以下、x→aの時の意）、
　f(x)-f(a)　が　０以外の値に収束するとすると
　（f(x)-f(a)）/（x-a）　は、収束しない（「ある値に収束」しない）

だから、
　　f(x)-f(a)　が　０　に収束する　といえる。

というわけで、点ａで連続といえる。

mtrajcp · Answer

f(a)=lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a
lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a=f(a)
ではなく
f'(a)=lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
です

xをaに近づけたとき
{f(x)-f(a)}/(x-a)
が
ある値
f'(a)
に収束するとき
f(x)がx=aで
微分可能というのです

f(x)がx=aで微分可能ならば
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)
で
連続

微分可能ならば連続の証明についてです lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果 lim(x→a

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)

lim(x→a)x-a=0

x≠aの時g(x)={f(x)-f(a)}/(x-a)

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する

①

訂正です

f(x)がx=aで微分可能ならば

ｆがａで微分可能としたとき、

f(a)=lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a

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