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関数f(x)が閉区間[a、b]で連続で開区間(a、b)で微分可能なら

 f(b)-f(a)/b-a =f‘(a+(b-a)θ)となるθ(0<θ<1)がある

平均値の定理を示す問題なのですがどうやって示せばいいですか?説明をお願いしたいです

A 回答 (1件)

平均値の定理を示すためには、以下の手順に従います。



関数 f(x) が閉区間 [a, b] 上で連続かつ開区間 (a, b) 上で微分可能であることを仮定します。

平均値の定理によれば、ある θ (0 < θ < 1) が存在し、f(b) - f(a) を b - a で割った値は f'(a + (b - a)θ) に等しいことを示します。

関数 F(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/(b - a) * (x - a) を定義します。

F(x) は閉区間 [a, b] 上で連続かつ開区間 (a, b) 上で微分可能です。

F(a) = f(a) - [f(b) - f(a)]/(b - a) * (a - a) = f(a) となり、F(b) = f(b) - [f(b) - f(a)]/(b - a) * (b - a) = f(b) となります。

閉区間 [a, b] 上で連続かつ開区間 (a, b) 上で微分可能な関数 F(x) に対して、F(a) = F(b) なので、F'(c) = 0 を満たす c (a < c < b) が存在することがわかります。

F'(c) = f'(c) - [f(b) - f(a)]/(b - a) = 0 となるので、f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b - a) となります。

以上の手順により、関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続であり、開区間 (a, b) で微分可能であれば、平均値の定理が示されます。
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