区間［0,1］で連続な関数f(x)について、 ∮[0→π]xf(sinx)dx=π∮［0→π/2］f

区間［0,1］で連続な関数f(x)について、
∮[0→π]xf(sinx)dx=π∮［0→π/2］f(sinx)dx
が成り立つことを示せ。

どなたか証明していただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/19 19:22

田島氏の本を見ました。

小冊子なので大丈夫かと思ったが、大変良いと思います(1変数に
限っていることもある)。実数の連続性などちゃんと抑えている。
ちらっと見ただけだが、コーシーの平均値の定理は技巧的だが、
簡明な証明だった。

書いてあるように本格的書籍の繋ぎのため解説してあるとのこと。

したがって、これは最低限と思います(これ以下は話にならない)。
他の書籍も参考にしながら何回も読み直してください。

何に躓いているかですが、計算ということなら、なれるしかなく、
バンバン問題を解いてください(解析演習、朝倉、宮岡など)。

私は新設校の一回生だったが、意欲満々の数学講師が夏休みに補
習を行って、普通の微積計算はばっちりになった。

理論ということなら、多分、この書籍以上は望めない。ε-δに躓い
ているなら「ε-δ・・・」と名を打った書籍があるので読むしか
ない(例えば、微積分学の試練、日本評論社、嶺など。ただ、読ん
でないが)。私は、何年もたってから、ε-δが理解できたような気
がした。

理論も慣れの部分があり、色んな問題を解くしかない。例えば、
1+1=2は何故、と普通思わないが、何の支障もなく使っている。
そこまでいかなくとも、数学的帰納法が何故成り立つか疑問に思
わずとも支障はない。


なお、私は大学には行っていないので参考程度に。

この回答へのお礼

本当にありがとうございます。今使ってる教科書で頑張ろうと思います。

お礼日時：2023/01/19 21:19

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/19 14:35

A=∫[0→π]xf(sinx)dx

　　=∫[0→π/2］xf(sinx)dx+∫[π/2→π］xf(sinx)dx

最後の式の第2項で、y=π-x と変換
　B=∫[π/2→π］xf(sinx)dx=∫[π/2→0］(π-y)f(sin(π-y))(-dy)
　　=-π∫[π/2→0］f(siny)dy+∫[π/2→0］yf(siny)dy
　　=π∫[0→π/2］f(siny)dy-∫[0→π/2］yf(siny)dy
　　=π∫[0→π/2］f(sinx)dx-∫[0→π/2］xf(sinx)dx (y → xとした)
したがって、
　A=π∫[0→π/2］f(sinx)dx

この回答へのお礼

本当にありがとうございます！

endlessriverさんにお聞きしたいのですが、解析学でおすすめの本はありますか？
正直全く授業についていけていないです。
今使っているのは田島一郎さんの解析入門という本です。同じくらいかそれより易しいものなどありますでしょうか、、、

こんなところでの追加の質問すみません。

お礼日時：2023/01/19 14:58