f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0)=1 ということわりがなくても、x=0 において連続

f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0)=1 ということわりがなくても、x=0 において連続と言えるのでしょうか？

x=0における連続性を証明するためには、
lim[x→0]f(x)=f(0)
をいう必要がありますよね？

左辺はよくある極限なので値が1となるのはわかります。

ただ、右辺は1といっていいのでしょうか？


自分は工学系の大学院生なので、その前提で説明していただいて構いません。

どなたか詳しい方いらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/19 22:38

f(x)=sin(x)/x に x=0 は代入できないので、

f(0)=1 は別に定義しておく必要があります。
あるいは、f(0)=1 の代わりに
「f(x) は連続関数」と書いておいても同じことです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

もしお時間がありたしたら、この質問の元となった問題に対する質問も投稿しましたので、恐縮ですがお力添え下さいm(_ _)m

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/11778352.html

お礼日時：2020/07/20 12:26

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/07/20 08:46

まず、

>>f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0)=1 ということわりがなくても、x=0 において連続と言えるのでしょうか？
については、「そもそも、f(x)=sin(x)/xはx=0で定義されていないので、x=0で連続とは言えない（※）」ということになります。
（※：x=0は定義域の外なので、x=0においてf(x)がどうなっているか、について言及することは不可能）

なので、こういうことになる（と言うか、こういうことにする）のが普通だと思います。

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f(x)を以下のように定義する。

x≠0のとき、f(x)=sin(x)/x
x=0のとき、f(x)=f(0)=1

すると、lim[x→0+0]f(x)=1、lim[x→0-0]f(x)=1であり、その値がともにf(0)=1に一致しているから、f(x)はx=0において連続。
（x≠0において連続なのは明らか）
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x=0のときのf(x)=f(0)はどのように定義してもいい（1でも√5でも100でも-12345でも何でもいい）のですが、もちろん、lim[x→0]f(x)=1ということが判っているので、x=0において連続になるように、敢えてf(0)=1と定義しているわけです。

なお、たまに、高校数学の基本問題で「f(x)=sin(x)/xと定義するとき、x=0において連続になるようにf(0)の値を決定せよ」といったものがあります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

もしお時間がありたしたら、この質問の元となった問題に対する質問も投稿しましたので、恐縮ですがお力添え下さいm(_ _)m

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お礼日時：2020/07/20 12:25