関数の連続性について質問です。 画像の(4)、(5)、(6)あたりの解答って合っているのでしょうか？

関数の連続性について質問です。
画像の(4)、(5)、(6)あたりの解答って合っているのでしょうか？

例えば(4)に関しては、lim[x→0]f(x)は計算できますが、f(0)そのものの値は定義されないため連続となりませんよね？

また、(6)のHintを見ても、まるで極限値は存在するので、x=2でも連続みたいな書き方されています。

どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/20 13:39

その赤字の解答は、例えば f(x) = (sin x)/{x(x-π)} と書きながら

実は f(x) = lim[u→x](sin u)/{u(u-π)} で関数を定義しているんですね。
数学としてはどうかと思う部分もありますが、物理などでは普通の態度です。

f(a) が定義されていなくて lim[x→a] f(x) は収束する場合
x=a のことを f(x) の「可除不連続点」といいますが、
可除なら除去してしまえばいいという考え方のようです。
近代以降では、関数は人間が定義して使うものですが、
１６世紀以前には、関数は自然界に存在して
それを人間が部分的に式に写したものという考えがあったので、
そういう操作が自然だったのだと思います。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/07/20 13:51

これ、解答として、どこまで考慮すべきなのかがちょっと曖昧ですが、「最大の定義域」という言い方になっているので、「定義できない部分や不連続な部分があるだろうが、そこはあなたが自分で上手く工夫して定義したり連続にしたりして、定義域が最大になるようにせよ」という趣旨だと解釈することにします。

この考え方（解釈）でいくと、以下のようになると思います。

(4)
f(x)が不連続になるのはx=0のときであるが、f(0)=1/√2と定義すれば、f(x)はx=0で連続となり、不連続性は解消される。
あとは、-x²+x+2>0となるのは(-1,2)なので、最大の定義域Dは、(-1,2)

(5)
f(x)が不連続になるのはx=0、πのときであるが、f(0)=f(π)=-1/πと定義すれば、f(x)はx=0、πで連続となり、不連続性は解消される。
そうすれば、f(x)は全実数で連続になる。

(6)
まず、logの定義域より、x-1>0なので、x>1。そのとき、f(x)が不連続になるのはx=2のときであるが、f(2)=1/4と定義すれば、f(x)はx=2で連続となり、不連続性は解消される。
そうすれば、f(x)は(1,∞)で連続になる。

(7)
ちょっと面倒なので省略します。上記の考え方を踏まえ、x=±1でf(x)が連続になるように（うまく繋がるように）してください。

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2020/07/20 13:24

こういう話はいろんな流儀があって、担当の先生がどの流儀を採用しているかによって答も変わります。

一番有名どころでは、「関数 y=1/x は x=0 で不連続か？」という問題で、不連続という答も、未定義という答もありえます。

その答を見る限り、その先生は、関数の連続性は（高校でいう；あるいは普通の意味での）定義域およびその集積点で考えるものとし、極限が存在する集積点は定義域として（拡張して）考えることとする、という流儀を採用しているようです。
上記の不連続性の答も、おそらくその先生は「x=0で不連続だ」ということでしょう。

この考え方の方が直観と合う、つまり、連続性とは直観的にグラフを描いて繋がっているということ、なので（対象が数学系学生でなければ）分かりやすいとの判断でしょう（今後、細かい場合をいちいち書くのは面倒なのでうまくやってくれ、ということ）。
詳しいことは講義の資料を確認するなり、担当の先生に直接聞くなりしてください。