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タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

A 回答 (3件)

(1) f: Z→N, f(x) = x^2


 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.
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この回答へのお礼

この場を借りてみなさんにお礼を申し上げます。

非常に参考になりました。
ありがとうございました。

良回答には、それぞれの解答を教えてくださったsacra_sak様。
次点は先着で付けさせていただきます。

お礼日時:2007/02/18 15:44

定義と用語をきちんと確認してください.



>Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから

ZやN,Rは集合です.自分でそうかいてますよね
それが1とかになるはずがないのです
「Zの一つの元1に対して」などというのが普通で
そうでないと意味が通じません
(これくらいの内容ならすぐ察しがつきますが
ややこしい文脈だと意味不明になります).

No.1さんご指摘すみですが,
写像というものの定義自体が
定義域の元一個に対して値域の元「一個」を定めるというものなので
書かれていることはまったく意味をなしませんし,
「全射」についても意味不明です.

単射というのは,ぶっちゃけていうと
「違う元は違う元に写像される」という意味です.
つまり,だから「単」なのです.

全射というのは
「値域の全部の元は,かならず定義域の元の像になる」
ということで「全」なのです.

全単射というのは「単射」かつ「全射」のことです.

繰り返しますが教科書をよく読んで
適切な「言葉」を用いてください.
単射・全射を表す模式的な図が書いてませんか?
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教科書を開いて、それぞれの用語の定義を読んでください。


そして、(1)~(5) がたとえば「単射」の定義に当てはまるかをひとつずつ確認すれば理解が深まるでしょう。

ちなみに、「Zが決定すればNはただひとつ必ず決まる」は「写像」そのものの定義で、すべての前提です。
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数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
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と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
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(英語)
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正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

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(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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Aベストアンサー

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Aが無限集合のときは、Aの元の個数という概念が通用しないので、
上の議論は成り立たない。
Aとして、自然数全体の集合を考えると、f(n)=2nは単射ではあるが、
全射ではない。
f(A)は偶数全体の集合であるから。

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こんにちは。

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1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?

それでいいです。
逆関数です。


>>>
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√(n+2) と書けばよいです。実数のみですからね。
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>>>
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たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

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(1)一つの行に0でない数をかける。
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1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
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Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
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→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
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※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。


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