内田伏一著「集合と位相」裳華房 p28 定理7.1 (カントール )べき集合から集合への単射の不存在

すみませんが、定理7.1について、説明が簡潔過ぎるためか私に理解できないことがありますのでお教えいただければありがたく思います。
「定理7.1　すべての集合Aについて、Aのべき集合β(A)からAへの単射は存在しない」について

この証明のあらすじを簡単に３段階にまとめると

(i) 単射f:β(A)→Aが存在すると仮定して
X={f(B)|B∈β(A),f(B)∉B}、x=f(X)・・・・・①
なるX(=Aの部分集合)を考える。
(ii)しかしそのようなXの存在は自己矛盾している（第３行目～第６行目）ので、①のようなXは存在し得ない。
(iii)したがってfは単射ではない。

ということになると思います。

しかし、単射fで①以外のAの部分集合
Y={f(B)|B∈β(A),f(B)∈B}、y=f(Y)・・・・・②
もあり得ると思います。これも否定されないと証明は不十分なのではないでしょうか？

それとも単射fを仮定すると必ず①のようなXが存在するはずである、ということが暗黙に言えているのでしょうか？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/04 16:38

φ⊂A

φ∈β(A)
f(φ)∉φ
だから
f(φ)∈X={f(B)|B∈β(A),f(B)∉B}…①
だから
X≠φ
だから
単射fを仮定すると必ず①のようなXが存在する

単射f:β(A)→Aが存在すると仮定して
X={f(B)|B∈β(A),f(B)∉B}

f(X)∈Xと仮定すると
fは単射だから
X∈β(A)
f(X)∉X
となってf(X)∈Xに矛盾する

f(X)∉Xと仮定すると
X∈β(A)
だから
f(X)∈X
となってf(X)∉Xに矛盾する

この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時：2022/11/07 17:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/04 14:19

A:「宝クジは外れる場合がある。

」
B:「当たる場合もあるから、そんなこと言えないでしょ。」
どちらが正しい？

この回答へのお礼

ありがとうございました。参考になりました。

お礼日時：2022/11/07 17:10

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/04 12:45

とりあえず ① のうしろにある

x=f(X)
って何の意味があるの?

そして「単射fを仮定すると必ず①のようなXが存在する」んだけど.... どこが疑問?

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
「単射fを仮定すると必ず①のようなXが存在する」が証明の初めに書いてあればそれなりに納得したと思うのですが、いきなり①が出てきてなぜこのようにおくことができるのかがわからなかったのが疑問が出た理由です。

強いて書くとすれば下記のようになると思いますが？もし齟齬があればご指摘くださればありがたく思います。

f:β(A)→A が単射であるとする。
Aの部分集合は
X={f(B)|B∈β(A),f(B)∉B}、x=f(X)・・・・・①
Y={f(B)|B∈β(A),f(B)∈B}、y=f(Y)・・・・・②
のどちらかであるが、①は必ず存在する。
なぜなら②はAの部分集合Bに対してf(B)（∈A）なる元1個しか含まないものの存在しか許さないのでβ(A)の元すべてを表し尽くせないからである。

以上

お礼日時：2022/11/06 10:18