代数学 環

以下の問題を教えてください。

-----------------------------------------------
次に場合にRが環になるかどうかを答えよ。環でない場合にはどの条件が成立しないか答えよ。

Xを任意の集合とし、その部分集合全体をRとする。このとき、A,BはRに属する。すなわちXの部分集合A,Bに対して

A+B≡AまたはB
A･B≡AかつB

と定める。

-------------------------------------------------

＋の演算に関して、単位元がどうなるかわかりません。
逆元は存在しないと思っているのですが、それは合っていますか？
単位元の候補として空集合が頭に浮かんでいるのですが、例えば集合Aとの和集合の扱いがわかりません。

不勉強で申し訳ないのですが教えていただけませんか。
逆元と単位元が存在するかどうかだけ教えていただければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/11 02:03

Xを任意の集合とし、その部分集合全体をRとする。

このとき、A,B∈R
すなわちXの部分集合A,Bに対して

A+B=A∪B
A・B=A∩B

と定める

φ+A=φ∪A=A∪φ=A
だから
空集合φは(+)単位元
A≠φのとき任意のB∈Rに対して
A+B=A∪B≠φだからAの(+)逆元は存在しない

A・X=A∩X=X∩A=A
だから
Xは(・)単位元
A≠Xのとき任意のB∈Rに対して
A・B=A∩B≠XだからAの(・)逆元は存在しない

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
助かりました！！！

お礼日時：2022/10/11 10:18