述語論理の基本的な質問

すみません。全ての、存在する
について、ちょっと確認させてください

ある実数xについて、x^2=-1なるxが存在する。（存在命題）
については、そのような実数は見つからないので、Falseと思います。
しかし、ある複素数xについて、x^2=-1なるxが存在する。
これを考えると、x=±i（iは虚数単位）が考えられるので、Trueかと思います。
記号で書くと
∃x∈R, x^2=-1
∃x∈C, x^2=-1
のようになるかと思います。このRとかCは、それぞれ実数全体の集合と複素数全体の集合かと思いますが、xをどちらに属した要素にするかで、上記の命題の真偽が変わるように思えます。
つまり、これらは議論とする範囲を規定する集合であり、前者は実数の範囲で考えており、後者は複素数の範囲で考えていることを明記している。
こういう、考えてるxの範囲を規定する集合（ここでのRやC）を論議領域という。
このような理解で良いでしょうか？

また、∃x∈R, x^2=-1の否定を考えると、
All x∈R, x^2!=-1
のようになるかと思います。（記号が使えません。全ての、と等しくないと読んでください。）
ここで、∈Rの部分はもちろん否定を取っても変わることはなく、それは元の命題がこの範囲を議論の範囲にしてるからそれが継承されている。
このような理解で良いでしょうか？

どうにも国語の力も不足してるようで、なかなく理解に自信がありません。

ご意見お願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  お返事ありがとうございます。
  
  議論領域=定義域として捉えてといということですね？
  
  私の示した例でいうと、定義域が実数の範囲では述語命題はFalseになるが、これを複素数の範囲に広げると、Trueになる。
  
  こんなところでしょうか？
  
  もう少し国語の力をつけて理解力を上げていきたいです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 13:16

• 仰る通りかもしれません。国語の力が不足してるので、自分で納得するのが苦手なのかもしれません。
  
  言い換えとか、同じことだろうな、とは自分で思いはするのですが、確認しないとあまり自分の理解を信用できないところがあります。
  
  しかし、参考になるご意見です。私もその事を気にしていました。結局、読解力が理解の土台だよな、と時折考えてました。
  
  ありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 13:20

• 

  なるほどですね。
  
  述語論理の変項xの取りうる範囲を変えてしまうと、得られる結論も変わる。
  
  これは、公理（出発として証明なしに認める性質）や定義が変わると得られる結論が変わってしまうのと同じということですね。
  
  なので、予め述語論理の変項xについて、この範囲のxについての議論ですよ、みたいにxの取りうる範囲（つまり定義域）を明確にするわけですね。
  
  このような考えで良いでしょうか？重ね重ねありがとうございます。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/23 13:41

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/23 11:38

それで合ってると思います。

論議領域(domain of discourse：Ｄで表します)は1階述語論理で使われる用語で、 関数の変項が取りうる範囲(集合)のことで、議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせたものです。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/04/23 13:24

補足コメントの通りです。

普通の数学で定義・公準の範囲で議論するのと同じです。

例えば普通のユークリッド幾何では23個の定義と5個の公準の範囲で議論していて、その範囲内では3角形の内角の和は180度です。

5個の公準のなかで、1個だけ別の公準(平行線の公準)に置き換えると、ガウス・ボヤイ・ロバチェフスキー型の非ユークリッドの幾何になり、3角形の内角の和は180度より小さくなります。

さらにその1個をまた別の公準に置き換えると、リーマン幾何が出来て、3角形の内角の和は180度より大きくなります。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/23 10:52

「論議領域」等の語句が初耳なので質問自体の回答はむりですが気になった事を少しだけ。

ハンネの「数学分からん」と言うのが実際その通りだとしたら、その理由は「国語の力が不足」と言う点が大きいのではと思います。数式とは一種の文章ですから、国語力が不足していると数式も読めない事になります。

cf:「数式は一種の文章」と言うのは比喩ではなくそのままの意味です。実際、諸々の数学の記号が発明される前は現在数式で表される内容を普通の文章で表していました。