1から100までの自然数で、3,4,5の少なくとも1つで割り切れるは何個ありますか？

1から100までの自然数で、3,4,5の少なくとも1つで割り切れるは何個ありますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/01/19 22:55

3で割り切れる　100÷3=33個

4で割り切れる　100÷4=25個
5で割り切れる　100÷5=20個
3と4の公倍数12で割り切れる　100÷12=8個
3と5の公倍数15で割り切れる　100÷15=6個
4と5の公倍数20で割り切れる　100÷20=5個
3と4と5の公倍数60で割り切れる　100÷60=1個　　　(A)

12で割り切れる数の中で60で割り切れる数を除く　8-1=7個　　　(B)
15で割り切れる数の中で60で割り切れる数を除く　6-1=5個　　　(C)
20で割り切れる数の中で60で割り切れる数を除く　5-1=4個　　　(D)

3で割り切れる数の中で12で割り切れる数と15で割り切れる数を除く、3で割り切れる数の中には(A)(B)(C)を数えているので　　　33-1-7-5=20個　　　(E)
4で割り切れる数の中で12で割り切れる数と20で割り切れる数を除く、4で割り切れる数の中には(A)(B)(D)を数えているので　　　25-1-7-4=13個　　　(F)
5で割り切れる数の中で15で割り切れる数と20で割り切れる数を除く、5で割り切れる数の中には(A)(C)(D)を数えているので　　　20-1-5-4=10個　　　(G)

ﾍﾞﾝ図のそれぞれにあてはまる個数を求めました。
(E)+(F)+(G)+(B)+(C)+(D)+(A)
=20+13+10+7+5+4+1
=60個

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/19 22:49

ベン図(3つの円で集合の関係を表したもの)を利用します。

１から100までの自然数の集まりを全体集合として、
その中で3の倍数(３で割り切れる)の集合をA、４の倍数の集合をB、5の倍数の集合をCとします。
また、その要素の個数を、n(A) , n(B) , n(C) で表します。

求めるものは、n(A⋃B⋃C) で、
n(A⋃B⋃C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

n(A)=33 , n(B)=25 , n(C)=20 ,
n(A∩B)=8 [3の倍数かつ４の倍数なので12の倍数]
n(B∩C)=5 [4の倍数かつ5の倍数なので20の倍数]
n(C∩A)=6 [3の倍数かつ5の倍数なので15の倍数]
n(A∩B∩C)=1 [3の倍数かつ４の倍数かつ5の倍数なので60の倍数]

これより、
n(A⋃B⋃C)=33+25+20-8-5-6+1=60
1から100までの自然数で、3,4,5の少なくとも1つで割り切れる数は60個です。